Chúng ta sẽ chứng minh các yêu cầu của bài toán.

### a) Chứng minh tam giác \( ABD \) bằng tam giác \( EBD \):

Trong tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có:
- \( D \) là một điểm thuộc cạnh \( AC \),
- \( BD \) là tia phân giác của góc \( B \) nên theo định nghĩa, ta có:

\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} \quad (1)
\]

- \( DE \) vuông góc với \( BC \) tại \( E \) (điều này có nghĩa là \( DE \perp BC \)).

Ta có các cặp cạnh và góc tương ứng sau:
1. \( BD \) là cạnh chung của cả hai tam giác \( ABD \) và \( EBD \).
2. Góc \( ADB \) bằng góc \( EDB \) do cả hai đều chứa góc \( ADB \) và \( DE \perp BC \).
3. Từ (1), ta có tỷ số các cạnh tương ứng của hai tam giác này bằng nhau khi nhìn từ điểm \( D \) (vì \( BD \) là tia phân giác).

Vì vậy, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có:

\[
\triangle ABD \cong \triangle EBD
\]

### b) Chứng minh \( BD \) là đường trung trực của \( AE \):

Để chứng minh \( BD \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( AE \), ta cần chỉ ra rằng \( A \) và \( E \) cách đều \( BD \) (có nghĩa là khoảng cách từ \( A \) đến \( BD \) bằng khoảng cách từ \( E \) đến \( BD \)).

1. Do \( BD \) là tia phân giác của góc \( B \), từ định nghĩa của phân giác, ta có rằng:
- Đoạn thẳng \( AB \) đối diện với \( AC \) và đoạn thẳng \( AE \) (đoạn vuông góc với \( BD \)), nên \( D \) phân chia \( AC \) sao cho:
\[
AD = DE.
\]

2. Từ đó, khoảng cách từ \( A \) đến \( BD \) chính là \( AD \) và khoảng cách từ \( E \) đến \( BD \) cũng là \( DE \).

Vì \( AD = DE \) (theo sự đồng dạng của hai tam giác), suy ra \( BD \) là đường trung trực của \( AE \).

Từ những lập luận trên, ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán. Do đó, ta có kết luận là:

1. \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \)
2. \( BD \) là đường trung trực của \( AE \).