Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Tìm bán kính của đường tròn**:
Chu vi của đường tròn được cho là 4 cm. Công thức tính chu vi \(C\) của đường tròn là:
\[
C = 2\pi r
\]
Với \(C = 4\) cm, ta có:
\[
2\pi r = 4 \implies r = \frac{4}{2\pi} = \frac{2}{\pi} \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài đoạn OA**:
Đoạn \(OA\) là đường kính của đường tròn, do đó:
\[
OA = 2r = 2 \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi} \text{ cm}
\]

3. **Xác định điểm M**:
Điểm \(M\) là trung điểm của đoạn \(OA\), do đó:
\[
OM = \frac{OA}{2} = \frac{\frac{4}{\pi}}{2} = \frac{2}{\pi} \text{ cm}
\]

4. **Vẽ hình**:
Vẽ đường tròn (O) với bán kính \(r = \frac{2}{\pi}\) và xác định các điểm tương ứng.

5. **Tính độ dài cung BC**:
Để tính độ dài cung \(BC\), chúng ta cần biết góc \(BOM\) (góc tạo bởi các bán kính \(OB\) và \(OM\)). Sử dụng tính chất hình học, chúng ta có:
\[
OM \perp AE \implies BOM = 90^\circ
\]
Như vậy, cung \(BC\) là một phần tư của đường tròn.

Độ dài của cung \(BC\) được tính bằng công thức:
\[
\text{Độ dài cung} = \frac{góc}{360^\circ} \cdot C
\]
Với góc \(BOM = 90^\circ\):
\[
\text{Độ dài cung } BC = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot 4 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 \text{ cm}
\]

**Kết luận**: Độ dài cung \(BC\) là 1 cm.