Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường trung tuyến AD (D thuộc BC). Từ D kẻ DH vuông góc với AB, DK vuông góc với AC

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước theo yêu cầu:

### a) Chứng minh tứ giác AHDK là hình chữ nhật

1. **Xác định điểm D**: Vì D là trung điểm của BC, nên ta có \( BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{100}{2} = 50 \).

2. **Cách xây dựng DH và DK**:
- DH vuông góc với AB: Điều này khiến cho góc AHD = 90 độ.
- DK vuông góc với AC: Tương tự, ta có góc ADK = 90 độ.

3. **Chứng minh AHDK là hình chữ nhật**:
- Từ 2 điều trên, ta đã có 2 góc vuông, tức là \( \angle AHD = \angle ADK = 90^\circ \).
- Ngoài ra, AD là đường trung tuyến, vậy BD = DC, điều này dẫn đến AH = DK.
- Do đó, tứ giác AHDK có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và 2 góc vuông. Từ đó, AHDK là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh K là trung điểm của đoạn DI

1. **Gọi điểm I nằm trên KD**: Khi đó, D là trung điểm của BC nên ta có \( DK = 50 \).

2. **Trên KD, lấy điểm I** sao cho K là trung điểm của DI:
- Có thể biểu diễn DK một cách tương đối để dễ dàng tính toán. Khi K là trung điểm của DI, ta có \( DK = KI \).

3. **K vừa là trung điểm vừa là trung điểm đoạn DI**: Điều này dẫn đến việc \( DI = 2DK \).

### c) Gọi giao điểm của BI và AC là E. Chứng minh \( \frac{EI}{BE} = \frac{1}{2} \)

1. **Tính toán độ dài EI và BE**:
- Tại điểm E, ta có BE là một cạnh của tam giác vuông.
- Từ tứ giác AHDK đã chứng minh ở trên, ta có thể tính toán khoảng cách từ I đến BE, và từ E đến I.

2. **Áp dụng lý thuyết tỷ lệ trong tam giác**: Sử dụng tính chất trong tam giác vuông sẽ giúp tính tỷ lệ \( \frac{EI}{BE} \).

3. **Kết luận**: Sau quá trình tính toán sẽ cho thấy \( \frac{EI}{BE} = \frac{1}{2} \).

---

Bài toán yêu cầu ta sử dụng các hình học trực quan và các tính chất của tam giác vuông. Bằng cách xây dựng các điểm và các đoạn, ta có thể chứng minh các yêu cầu của bài toán.