Để chứng minh rằng \( M = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{2010} \) chia hết cho 4 và 13, trước tiên chúng ta sẽ sử dụng công thức tổng của dãy hạng số hạng.

**Bước 1: Tính tổng \( M \)**

Tổng \( M \) có thể được tính bằng công thức tổng của cấp số nhân:

\[
M = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{2010} = 3 \cdot \frac{3^{2010} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{2011} - 3}{2}
\]

**Bước 2: Xét tính chia hết cho 4**

Ta sẽ xét \( M \) modulo 4:

\[
3 \equiv -1 \mod 4
\]
Do đó, \( 3^{2011} \equiv (-1)^{2011} \equiv -1 \mod 4 \).

Chúng ta có:

\[
3^{2011} - 3 \equiv -1 - 3 \equiv -4 \equiv 0 \mod 4
\]

Khi chia \( M \) cho 2, ta có:

\[
M = \frac{3^{2011} - 3}{2} \implies (3^{2011} - 3) \text{ là chẵn}
\]

Vậy:

\[
M \div 2 = 0 \mod 4 \implies M \equiv 0 \mod 4
\]

=> \( M \) chia hết cho 4.

**Bước 3: Xét tính chia hết cho 13**

Tiếp theo, ta xét \( M \) modulo 13. Chúng ta có chu kỳ của \( 3^n \mod 13 \), cụ thể là \( 3^{12} \equiv 1 \mod 13 \). Do đó, \( 3^n \mod 13 \) sẽ lặp lại sau mỗi 12 số hạng.

Ta tính các giá trị của \( 3^n \mod 13 \):

- \( 3^1 \equiv 3 \)
- \( 3^2 \equiv 9 \)
- \( 3^3 \equiv 27 \equiv 1 \)
- \( 3^4 \equiv 3 \)
- \( 3^5 \equiv 9 \)
- \( 3^6 \equiv 1 \)

Khi này định luật lặp hoàn thành sau \( 12 \):

Vì \( 2010 \div 12 = 167\) dư 6. Vậy tổng \( M \) được chia thành 167 chu kỳ đầy đủ (từ \( 3^1 \) đến \( 3^{12} \)) và 6 số hạng từ \( 3^{1} \) đến \( 3^{6} \).

Tính tổng \( S_{12} = 3 + 9 + 1 + 3 + 9 + 1 + 3 + 9 + 1 + 3 + 9 + 1 = 5 \cdot 3 + 5 \cdot 9 + 1 = 15 + 45 + 1 = 61 \equiv 9 \mod 13 \).

Vậy:

\[
167 \cdot 9 \equiv 3 \cdot 9 = 27 \equiv 1 \mod 13
\]

Tổng 6 số hạng:

\[
3 + 9 + 1 + 3 + 9 + 1 = 26 \equiv 0 \mod 13
\]

Suy ra:

\[
M \equiv 0 + 1 \equiv 1 \mod 13
\]

Así, no se puede calcular de otro modo.

Tuy nhiên, sau khi kiểm tra lại,

Tổng hợp lại:

\[
M = 3^{2011} - 3 \text{ sẽ bù trừ các điều kiện mod 13}
\]

Đến đây, không cần mở vi phân cho thêm kết quả đã tìm.

**Kết luận:**

- \( M \) chia hết cho 4.
- \( M \) không chia hết cho 13.

Đó là kết luận mà ta tìm ra từ \( M \) = 3^1 + 3^2 + … + 3^2010.