Để chứng minh \( O, A, I, C \) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ áp dụng định lý về góc ở mặt phẳng. Cụ thể, ta sẽ chứng minh góc \( OAI \) và góc \( OCI \) có số đo bằng nhau.

1. **Đặt điểm và xây dựng hình**:
- Gọi \( O \) là tâm của nửa đường tròn.
- Nhìn nhận rằng \( d \) là tiếp tuyến tại \( A \), nên \( OA \perp d \).
- Ta có điểm \( I \) là giao điểm của tiếp tuyến \( d \) tại \( C \), với \( d \) cắt \( MB \) tại \( C \).

2. **Chứng minh góc**:
- Xét góc \( OAI \):
\[
\angle OAI = 90^\circ - \angle OAC \quad (\text{vì } OA \perp d)
\]

- Xét góc \( OCI \):
- Khi điểm \( C \) nằm trên nửa đường tròn, \( OC \) là bán kính và \( C \) nằm trên tiếp tuyến nên:
\[
\angle OCI = \angle OAC \quad (\text{góc ngoài tại điểm tiếp xúc})
\]

3. **Kết luận**:
- Có \( \angle OAI + \angle OAC = 90^\circ \) và \( \angle OCI + \angle OAC = 90^\circ \).
- Vậy các điểm \( O, A, I, C \) cùng thuộc một đường tròn với đường kính \( OA \) (vì tổng các góc đối diện tuyệt đối bằng 180 độ). Ta khẳng định rằng \( O, A, I, C \) cùng nằm trên một đường tròn.

Do đó, ta đã chứng minh \( O, A, I, C \) thuộc cùng một đường tròn.