Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

**a) Chứng minh \( \triangle AMB \cong \triangle AMC \):**

Để chứng minh hai tam giác bằng nhau, ta sẽ sử dụng tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCS).

- Có \( AB = AC \) (giả thiết).
- \( AM = AM \) (cạnh chung).
- \( MB = MC \) (vì M là trung điểm của BC).

Vậy, theo CCS, ta có:
\[
\triangle AMB \cong \triangle AMC
\]

**b) Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho \( MD = MA \). Chứng minh \( AB \parallel DC \):**

- Xét các tam giác \( \triangle AMB \) và \( \triangle AMC \) đã chứng minh ở phần a.
- Do \( AB = AC \) và hai tam giác này bằng nhau, ta có \( \angle AMB = \angle AMC \).
- Từ đó, \( MD = MA \) sẽ tạo ra một tam giác \( \triangle AMD \) với \( AM = MD \).
- Như vậy, ta biết rằng \( \angle AMB = \angle AMD \) do tính chất của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau.
- Theo định lý về tính song song, nếu hai đường thẳng bị cắt bởi hai đường chéo tạo thành các góc đồng vị bằng nhau thì chúng song song.
- Vậy, suy ra \( AB \parallel DC \).

**c) Trên các cạnh AB, DC lần lượt lấy các điểm I và K sao cho \( BI = CK \). Chứng minh rằng ba điểm \( I, M, K \) thẳng hàng:**

- Gọi \( BI = CK = x \) (với x là một độ dài bất kỳ).
- Tại điểm B, kẻ đường thẳng BI, tại điểm C kẻ đường thẳng CK.
- Khi lấy \( I \) ở AB và \( K \) ở DC, ta có cách vẽ sao cho MI, MK song song với AB và DC.
- Do đó, các đoạn thẳng IM và MK sẽ có độ dốc như nhau và sẽ kéo dài ra điểm M, do đó \( I, M, K \) sẽ thẳng hàng.

Vậy ta đã hoàn thành xong bài toán.