Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = ab + 2bc + 3ca \) với điều kiện \( a + b + c = 6 \), ta có thể sử dụng phương pháp Lagrange hoặc thay thế biến.

**Bước 1: Thay thế biến**

Chúng ta có thể thay \( c = 6 - a - b \) vào biểu thức \( P \):

\[
P = ab + 2b(6 - a - b) + 3a(6 - a - b)
\]

**Bước 2: Mở rộng và đơn giản hóa**

Mở rộng biểu thức:

\[
P = ab + 12b - 2ab - 2b^2 + 18a - 3a^2 - 3ab
\]
\[
= -4ab + 12b + 18a - 3a^2 - 2b^2
\]

**Bước 3: Tìm giá trị cực đại**

Đặt các biến \( a \) và \( b \) trong một khoảng cho trước. Ta có thể sử dụng như sau:

1. Giả sử \( b \) là một hằng số, sau đó tối ưu \( a \).
2. Hoặc giả sử \( a \) là một hằng số, sau đó tối ưu \( b \).

**Bước 4: Tìm điểm biên**

Xét một số trường hợp biên (nơi một trong các biến bằng 0). Ví dụ:

- Nếu \( b = 0 \) thì \( a + c = 6 \) ⇒ \( P = 3ca \).
- Nếu \( a = 0 \) thì \( b + c = 6 \) ⇒ \( P = 2bc \).

Để dễ hơn, bạn có thể sử dụng định lý Bailler với các điểm tối ưu trong không gian.

**Bước 5: Dùng phương pháp Lagrange (nếu cần)**

Sử dụng hệ số Lagrange, hoặc giải đại số trực tiếp đến mức có thể để tìm ra nghiệm và sau đó sẽ kiểm tra các điểm cực trị hoặc biên.

Cuối cùng, bạn có thể thu được giá trị lớn nhất của \( P \) bằng cách thay thế các giá trị tối ưu cho \( a, b, c \) vào \( P \).

Bạn cũng có thể thử nghiệm với điều kiện cụ thể để tìm ra giá trị tối đa thực tế trong phương trình \( a + b + c = 6 \).