Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng các tỉ lệ và tính chất của tam giác.

### a) Tìm tỉ số \(\frac{S_{BCMN}}{S_{ABC}}\) và \(\frac{S_{AMN}}{S_{BCMN}}\)

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- Vì \(AB = 3 \times AN\), suy ra \(AN = \frac{1}{3} AB\).
- Vì \(AC = 3 \times AM\), suy ra \(AM = \frac{1}{3} AC\).

2. **Áp dụng tỉ lệ**:
- Diện tích của tam giác được xác định qua tỉ lệ chiều cao từ đỉnh tới đáy.
- Tỉ lệ giữa các đoạn thẳng \(AN\) và \(AB\) bằng nhau với tỉ lệ giữa chiều cao từ \(M\) đến \(BC\) và chiều cao từ \(A\) đến \(BC\).

3. **Tính tỉ số diện tích**:
- \(S_{AMN} = \frac{1}{3} S_{ABC}\) (do tỉ lệ chiều cao tương ứng).
- \(S_{BCMN} = S_{ABC} - S_{AMN} = S_{ABC} - \frac{1}{3}S_{ABC} = \frac{2}{3}S_{ABC}\).

4. **Tìm tỉ số**:
- \(\frac{S_{BCMN}}{S_{ABC}} = \frac{2/3 \cdot S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{2}{3}\).
- \(\frac{S_{AMN}}{S_{BCMN}} = \frac{(1/3)S_{ABC}}{(2/3)S_{ABC}} = \frac{1}{2}\).

### b) Tính \(S_{ABC}\), biết \(S_{BCMN}\) lớn hơn \(S_{AMN}\) là 14 cm².

1. **Thiết lập phương trình**:
- Gọi \(S_{AMN} = x\).
- Theo tỉ lệ đã tính, ta có \(S_{BCMN} = 2x\).
- Theo đề bài: \(S_{BCMN} - S_{AMN} = 14\) cm².
- Thay \(S_{BCMN} = 2x\) và \(S_{AMN} = x\) vào phương trình: \(2x - x = 14\).
- Giải phương trình: \(x = 14\) cm².

2. **Tính diện tích thực**:
- \(S_{AMN} = 14\) cm².
- \(S_{BCMN} = 2x = 28\) cm².
- \(S_{ABC} = S_{AMN} + S_{BCMN} = 14 + 28 = 42\) cm².

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là **42 cm²**.