Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a. Viết điều kiện xác định của biểu thức E

Biểu thức \( E \) được xác định khi:
1. Các mẫu số không được bằng 0, tức là:
- \( x + 2 \neq 0 \) → \( x \neq -2 \)
- \( x - 2 \neq 0 \) → \( x \neq 2 \)
- \( 2x \neq 0 \) → \( x \neq 0 \)

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức \( E \) là:
\[ x \neq -2, \quad x \neq 2, \quad x \neq 0 \]

### b. Rút gọn E

Biểu thức \( E \) là:
\[
E = \left( \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-2} \right) \cdot \frac{x^2 + 4x + 4}{2x}
\]

Trước tiên, ta cộng hai phân số ở phần đầu:
\[
\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-2} = \frac{(x-2) + (x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{2x}{x^2 - 4}
\]

Tiếp theo, phần tử \( x^2 + 4x + 4 \) có thể viết lại thành \( (x+2)^2 \).
Vậy biểu thức \( E \) trở thành:
\[
E = \frac{2x}{x^2 - 4} \cdot \frac{(x+2)^2}{2x}
\]
Sau khi rút gọn, ta có:
\[
E = \frac{(x+2)^2}{x^2 - 4}
\]

### c. Tính giá trị của biểu thức E tại \( x = 1 \)

Bây giờ ta thay \( x = 1 \) vào biểu thức đã rút gọn:
\[
E(1) = \frac{(1+2)^2}{1^2 - 4} = \frac{3^2}{1 - 4} = \frac{9}{-3} = -3
\]

### Kết quả

a. Điều kiện xác định: \( x \neq -2, x \neq 2, x \neq 0 \)
b. Rút gọn \( E = \frac{(x+2)^2}{x^2 - 4} \)
c. Giá trị tại \( x = 1 \): \( -3 \)