Để giải bài toán với biểu thức \( C = \frac{x^2}{x-2} \cdot \left( \frac{x^2 + 4}{x} - 4 \right) + 3 \), chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức C

Điều kiện xác định của biểu thức thường liên quan đến các mẫu phải khác không.

1. **Điều kiện từ biểu thức \(\frac{x^2}{x-2}\)**:
- Mẫu \( x - 2 \neq 0 \) → \( x \neq 2 \)

2. **Điều kiện từ biểu thức \(\frac{x^2 + 4}{x}\)**:
- Mẫu \( x \neq 0 \)

Tổng hợp các điều kiện này, ta có:
- \( x \neq 0 \)
- \( x \neq 2 \)

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức \( C \) là:
\[
x \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}
\]

### b) Rút gọn biểu thức C

Tiến hành rút gọn biểu thức:

Bắt đầu từ phần \( \left( \frac{x^2 + 4}{x} - 4 \right) \):
\[
\frac{x^2 + 4}{x} - 4 = \frac{x^2 + 4 - 4x}{x} = \frac{x^2 - 4x + 4}{x} = \frac{(x-2)^2}{x}
\]

Thay vào biểu thức \( C \):
\[
C = \frac{x^2}{x-2} \cdot \frac{(x-2)^2}{x} + 3
\]

Giản ước phần đầu:
\[
C = \frac{x^2 (x-2)^2}{x(x-2)} + 3 = (x-2) + 3
\]

Rút gọn:
\[
C = x - 2 + 3 = x + 1
\]

### c) Tìm \( x \) để C có giá trị nhỏ nhất

Biểu thức \( C = x + 1 \) là một hàm số bậc nhất. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta nhận thấy rằng hàm này không có giới hạn dưới trong tập số thực, nhưng vì có điều kiện xác định là \( x \neq 0 \) và \( x \neq 2\), ta cần xem xét giá trị khi \( x \) tiến tới các giới hạn của điều kiện.

- Khi \( x \) gần 0 từ bên phải (\( x \to 0^+ \)), \( C \) tiến tới 1.
- Khi \( x \to 2^- \) hay \( x \to 2^+ \), \( C \) tiến tới 3.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( C \) là:
\[
C_{\text{min}} = 1 \quad \text{ tại } x \to 0 \text{ (từ bên phải)}
\]

Tóm lại:

- a) Điều kiện xác định: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2\} \)
- b) Rút gọn: \( C = x + 1 \)
- c) Giá trị nhỏ nhất là \( 1 \) khi \( x \) tiến tới \( 0 \).