Giải hệ phương trình: x mũ 3 + y mũ 3 + 6xy =21

Để giải hệ phương trình
\[
\begin{cases}
x^3 + y^3 + 6xy = 21 \\
x^3 + y^3 + 6xy = 21
\end{cases}
\]
ta nhận thấy rằng hệ phương trình này thực chất chỉ có một phương trình duy nhất. Do đó, chúng ta có thể giải phương trình sau:

\[
x^3 + y^3 + 6xy = 21
\]

Sử dụng công thức phân tích bậc ba, ta biết rằng:
\[
x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)
\]

Đặt \( S = x + y \) và \( P = xy \), theo đó:
\[
x^2 - xy + y^2 = S^2 - 3P
\]
do đó:
\[
x^3 + y^3 = S(S^2 - 3P) = S^3 - 3SP
\]

Thay vào phương trình ban đầu, ta có:
\[
S^3 - 3SP + 6P = 21
\]
hay
\[
S^3 - 3SP + 6P - 21 = 0
\]

Để dễ dàng hơn, ta có thể thử một số giá trị cho \( S \) và \( P \) để tìm nghiệm cho phương trình này.

### Phương pháp tiếp cận bằng việc thử nghiệm:

Giả sử \( x = 1, y = 2 \):
\[
1^3 + 2^3 + 6(1)(2) = 1 + 8 + 12 = 21
\]
Như vậy, \( (1, 2) \) là một nghiệm của hệ phương trình.

### Kiểm tra nghiệm khác:
Chúng ta sẽ kiểm tra xem có nghiệm nào khác không, sử dụng phương pháp khai thác các giá trị khác cho \( S \) và \( P \).

Giả sử \( x = 3, y = 0 \) (hoặc nghịch lại):
\[
3^3 + 0^3 + 6(3)(0) = 27 + 0 + 0 = 27 \quad (Nguyên không thỏa mãn)
\]

Giả sử \( x = 2, y = 1 \):
\[
2^3 + 1^3 + 6(2)(1) = 8 + 1 + 12 = 21 \quad (Thỏa mãn)
\]

### Kết luận:
Hai nghiệm thỏa mãn hệ phương trình là:
\[
(x, y) = (1, 2) \quad \text{hoặc} \quad (x, y) = (2, 1)
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[
(x, y) = (1, 2) \quad \text{và} \quad (2, 1)
\]