Để giải phương trình \( y(y^4 + 12) = -5 \), chúng ta có thể bắt đầu bằng cách đưa tất cả các hạng tử về một phía. Phương trình trở thành:

\[
y(y^4 + 12) + 5 = 0
\]

Chúng ta có thể viết lại như sau:

\[
y^5 + 12y + 5 = 0
\]

Bây giờ, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \( y \) (tức là \( y \in \mathbb{Z} \)). Ta thử một số giá trị nguyên khác nhau:

1. **Khi \( y = -2 \)**:

\[
(-2)^5 + 12(-2) + 5 = -32 - 24 + 5 = -56 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

2. **Khi \( y = -1 \)**:

\[
(-1)^5 + 12(-1) + 5 = -1 - 12 + 5 = -8 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

3. **Khi \( y = 0 \)**:

\[
0^5 + 12(0) + 5 = 5 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

4. **Khi \( y = 1 \)**:

\[
1^5 + 12(1) + 5 = 1 + 12 + 5 = 18 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

5. **Khi \( y = 2 \)**:

\[
2^5 + 12(2) + 5 = 32 + 24 + 5 = 61 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

6. **Khi \( y = -3 \)**:

\[
(-3)^5 + 12(-3) + 5 = -243 - 36 + 5 = -274 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

7. **Khi \( y = -4 \)**:

\[
(-4)^5 + 12(-4) + 5 = -1024 - 48 + 5 = -1067 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

8. **Khi \( y = 3 \)**:

\[
3^5 + 12(3) + 5 = 243 + 36 + 5 = 284 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

Từ các kết quả trên, ta có thể nhận thấy rằng nghiệm nguyên không xuất hiện cho các giá trị \( y \) đã thử. Để chắc chắn về việc có nghiệm, ta có thể kiểm tra các giá trị khác.

Sau khi thử nghiệm trên một vài giá trị nguyên khác, và nếu không tìm ra nghiệm trực tiếp, bạn có thể xem xét phương pháp đồ thị hoặc các phương pháp giải số khác để tìm nghiệm chính xác hơn.

Nhưng với các giá trị nguyên đã thử, không có giá trị nào thỏa mãn phương trình ban đầu. Nếu bạn cần các giải pháp gần đúng, bạn có thể sử dụng công cụ tính toán hoặc phần mềm.

**Kết luận:** Không tìm thấy nghiệm nguyên nào của phương trình \( y^5 + 12y + 5 = 0 \) trong tập hợp số nguyên \( \mathbb{Z} \).