Cho đơn thức \( A = 2xy^2 \left( \frac{1}{2} x^2y^2x \right) \). Thu gọn đơn thức \( A \)? Tìm bậc và chỉ ra hệ số, phần biến của đơn thức thu gọn? Tính giá trị của đơn thức tại \( x = 2, y = -1 \)? Chứng tỏ rằng với mọi giá trị \( x, y \neq 0; y \neq 0 \) thì giá trị của \( A \) luôn nhận giá trị dương

Để thu gọn đơn thức \( A = 2xy^2 \left( \frac{1}{2} x^2y^2x \right) \), chúng ta thực hiện các bước sau:

### a) Thu gọn đơn thức \( A \):
1. Tính toán bên trong dấu ngoặc:
\[
\frac{1}{2} x^2y^2x = \frac{1}{2} x^{3}y^2
\]
2. Thay vào biểu thức:
\[
A = 2xy^2 \left( \frac{1}{2} x^{3}y^2 \right) = 2xy^2 \cdot \frac{1}{2} x^{3}y^2
\]
Nhân các hệ số:
\[
A = xy^2 \cdot x^{3}y^2 = x^{4}y^{4}
\]

### b) Tìm bậc và chỉ ra hệ số, phần biến của đơn thức thu gọn:
- **Hệ số**: Đây là 1 (do không có hệ số đứng trước).
- **Phần biến**: \( x^4y^4 \).
- **Bậc của đơn thức**: Bậc là tổng số mũ của các biến:
\[
4 + 4 = 8
\]

### c) Tính giá trị của đơn thức tại \( x = 2, y = -1 \):
Thay \( x = 2 \) và \( y = -1 \) vào biểu thức \( A \):
\[
A = (2^4)(-1^4) = 16 \cdot 1 = 16
\]

### d) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị \( x, y \neq 0 \) thì giá trị của \( A \) luôn nhận giá trị dương:
Đơn thức \( A = x^{4}y^{4} \):
- \( y^{4} \) luôn dương với mọi giá trị \( y \neq 0 \).
- \( x^{4} \) cũng luôn dương với mọi giá trị \( x \neq 0 \).

Kết luận, tích của hai số dương vẫn dương, do đó \( A > 0 \) với mọi \( x \neq 0 \) và \( y \neq 0 \).