Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh \( AB + 2BN = AC \).

Đặt \( A, B, C \) trong mặt phẳng. Ta có tam giác đều \( ABC \) với \( AB = AC = BC = a \). Gọi \( M \) là điểm trên \( AC \) và \( N \) là trung điểm của \( BC \).

- Đường thẳng \( BN \) sẽ là đường thẳng từ \( B \) đến trung điểm \( N \) của \( BC \).
- Do \( N \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a \).
- Khi đó, chiều dài tổng \( AB + 2BN = a + 2 \times \frac{1}{2} a = a + a = 2a = AC \).

Vậy ta có \( AB + 2BN = AC \).

### b) Xác định vị trí điểm \( I \) sao cho \( \overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 0 \).

Ta cần tìm điểm \( I \) sao cho:

\[
\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}
\]

Suy ra điều kiện này nghĩa là \( I \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \), vì trọng tâm là điểm có khoảng cách tới các đỉnh bằng nhau.

### c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
P = |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| + 3 |\overrightarrow{MA - MB + MC}|.
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta sẽ sử dụng định lý về khoảng cách trong không gian vuông. Với các điểm \( M, A, B, C \) đã cho, hãy xác định các vector đi từ \( M \) đến các điểm còn lại.

Cách tính và tối ưu hóa cụ thể sẽ phụ thuộc vào tọa độ của tam giác và vị trí của \( M \) trên \( AC \).

Thường thì sẽ cần tính trực tiếp hoặc thông qua tính chất của khoảng cách bất đẳng thức triangle.

### Tổng hợp

- Điểm \( I \) là trọng tâm của tam giác.
- Biểu thức \( P \) sẽ tìm ra giá trị tối ưu dựa vào vị trí của điểm \( M \) trên đường thẳng \( AC \).

Để xác định rõ hơn \( P \), ta có thể cần biết cụ thể tọa độ các điểm \( A, B, C \) hay các thông tin bổ sung khác để có lời giải chi tiết hơn.