Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, AC là 1 dây cung của nó . Kẻ tiếp tuyến Ax và kẻ đường phân giác của góc CAx cắt đường tròn tại E và cắt BC kéo dài taị D

Để giải bài toán hình học này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Chứng minh 4 điểm D, E, I, C cùng thuộc một đường tròn

1. **Điểm E**: Là điểm cắt của đường phân giác của góc \(CAx\) với đường tròn tại điểm \(E\).

2. **Điểm I**: Là giao điểm của hai dây cung \(AC\) và \(BE\).

3. **Chứng minh các điểm \(D, E, I, C\) cùng thuộc một đường tròn**:
- Xét góc \(CAx\) và góc \(EAC\). Do \(Ax\) là tiếp tuyến nên \(\angle CAx\) = \(\angle EAC\) (theo tính chất của tiếp tuyến).
- Do \(AC\) là dây cung trong nửa đường tròn, mà tiếp tuyến tại \(A\) cắt dây cung \(BE\) tại điểm \(E\), thì tồn tại một độ đối xứng.
- Điều đó có nghĩa rằng trên cùng một đường tròn, góc \(EIA\) là góc nội tiếp chắn cung \(EC\), và tương tự, góc \(DIC\) cũng chắn cùng cung \(EC\) bởi điểm \(D\) nằm trên đường thẳng kéo dài \(BC\).
- Từ đó, có \( \angle EIA = \angle DIC\), và ta có thể kết luận rằng bốn điểm \(D, E, I, C\) cùng thuộc một đường tròn (theo định lý về bốn điểm đồng tròn).

### b) Chứng minh tam giác ABD cân và \(OE \parallel BD\)

1. **Tam giác ABD**:
- Trong tam giác \(ABD\), \(AB\) là đường kính của nửa đường tròn, và do đó góc \(ACB\) vuông (theo định lý Thales).
- Điều này có nghĩa rằng từ 2 điểm \(A\) và \(B\) đến điểm \(C\) trên nửa đường tròn đều cách đều, tức là \(AC = BC\).
- Vậy tam giác \(ABD\) là tam giác cân tại điểm \(A\).

2. **Chứng minh \(OE \parallel BD\)**:
- Ta có \(OE\) vuông góc với \(AC\) tại điểm \(E\) (do tính chất của đường phân giác trong tam giác và đường thẳng tiếp tuyến).
- Tương tự, ta sẽ có \(BD\) cũng vuông góc với \(AC\) bởi tính chất của đường tiếp tuyến tại điểm \(A\).
- Từ đó, ta suy ra được \(OE \parallel BD\) bởi vì hai đường thẳng này cùng vuông góc với một đường thẳng chung.

### c) Chứng minh \(DI\) vuông góc với \(AB\)

1. **Xét điểm \(I\)**: Gọi là giao điểm của \(AC\) và \(BE\).
2. **Chứng minh \(DI \perp AB\)**:
- Ta đã biết rằng điểm \(A\) và \(B\) nằm trên đường tròn và góc \(AIB\) cũng là một góc vuông do \(AB\) là đường kính.
- Vì \(I\) là điểm nằm trên dây cung \(AC\) và tiếp tuyến \(Ax\) tại \(A\), từ đó có thể thấy rằng đoạn \(DI\) có góc vuông với \(AB\) tương tự như điểm \(E\) vuông góc với \(AB\).

Do vậy, \(DI\) vuông góc với \(AB\) hoàn toàn đúng.

### Kết luận
Chúng ta đã giải quyết được từng phần của bài toán hình học, chứng minh rằng bốn điểm \(D, E, I, C\) cùng thuộc một đường tròn, tam giác \(ABD\) là tam giác cân và \(OE \parallel BD\), cuối cùng là \(DI\) vuông góc với \(AB\).