Vẽ đồ thị quãng đường thời gian của mô tô. Xác định tốc độ v của mô tô trên cả quãng đường

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

### a) Vẽ đồ thị quãng đường thời gian của mô tô

Giả sử quãng đường tổng cộng là \( s \) km.
- Nửa quãng đường đầu tiên là \( \frac{s}{2} \) km, với tốc độ \( v_1 = 40 \) km/h.
- Nửa quãng đường còn lại cũng là \( \frac{s}{2} \) km, với tốc độ \( v_2 = 60 \) km/h.

**Thời gian chạy cho từng nửa quãng đường:**
- Thời gian cho nửa quãng đường đầu:
\[
t_1 = \frac{\frac{s}{2}}{v_1} = \frac{\frac{s}{2}}{40} = \frac{s}{80} \text{ giờ}
\]

- Thời gian cho nửa quãng đường cuối:
\[
t_2 = \frac{\frac{s}{2}}{v_2} = \frac{\frac{s}{2}}{60} = \frac{s}{120} \text{ giờ}
\]

**Tổng thời gian đi hết quãng đường:**
\[
T = t_1 + t_2 = \frac{s}{80} + \frac{s}{120}
\]
Để cộng hai phân số này, chúng ta cần tìm mẫu số chung.
Mẫu số chung của 80 và 120 là 240.
- \(\frac{s}{80} = \frac{3s}{240}\)
- \(\frac{s}{120} = \frac{2s}{240}\)

Vậy:
\[
T = \frac{3s + 2s}{240} = \frac{5s}{240} = \frac{s}{48} \text{ giờ}
\]

**Đồ thị quãng đường thời gian:**
- Từ 0 đến \( t_1 = \frac{s}{80} \), quãng đường tăng tuyến tính với độ dốc \( v_1 = 40 \) km/h.
- Từ \( t_1 \) đến \( t_1 + t_2 = t_1 + \frac{s}{120} = \frac{s}{80} + \frac{s}{120} = \frac{s}{48} \), quãng đường tăng tuyến tính với độ dốc \( v_2 = 60 \) km/h.

### b) Xác định tốc độ \( v \) của mô tô trên cả quãng đường.

Tốc độ trung bình \( v \) trên quãng đường \( s \) được tính bằng công thức:
\[
v = \frac{s}{T}
\]
Như đã tính ở trên, \( T = \frac{s}{48} \), nên:
\[
v = \frac{s}{\frac{s}{48}} = 48 \text{ km/h}
\]

### c) So sánh các giá trị \( v, v_1, v_2 \) và tìm biểu thức tổng quát về mối liên hệ giữa \( v, v_1, v_2 \).

Với các giá trị đã tìm được:
- \( v_1 = 40 \) km/h
- \( v_2 = 60 \) km/h
- \( v = 48 \) km/h

Chúng ta thấy rằng:
\[
v_1 < v < v_2
\]

#### Biểu thức tổng quát:
Để tìm mối quan hệ tổng quát giữa \( v, v_1, v_2 \), chúng ta có thể sử dụng công thức tính tốc độ trung bình đối với hai đoạn đường khác nhau. Nếu \( d_1 \) và \( d_2 \) là các đoạn đường tương ứng, thì tốc độ trung bình được xác định bởi:
\[
v = \frac{2v_1v_2}{\frac{v_1 + v_2}{d_1/d_2 + 1}}
\]
Trong trường hợp này, \( d_1 = d_2 = 1 \):
\[
\frac{1}{v} = \frac{0.5}{v_1} + \frac{0.5}{v_2}
\]

Tóm lại:
\[
\frac{1}{v} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)
\]

Biểu thức trên cho thấy rằng tốc độ trung bình \( v \) nằm giữa hai tốc độ \( v_1 \) và \( v_2 \).