Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m và m < 5, để phương trình:

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần phân tích phương trình đã cho:

\[
(m + 1) \tan 2x = m \sqrt{3} - \tan 2x
\]

Chúng ta có thể biến đổi phương trình này:

1. Chuyển tất cả các số hạng chứa \(\tan 2x\) sang một bên:

\[
(m + 1) \tan 2x + \tan 2x = m \sqrt{3}
\]

2. Kết hợp các số hạng \(\tan 2x\):

\[
(m + 2) \tan 2x = m \sqrt{3}
\]

3. Từ đây, ta có:

\[
\tan 2x = \frac{m \sqrt{3}}{m + 2}
\]

Điều kiện để phương trình có nghiệm là \(\frac{m \sqrt{3}}{m + 2}\) phải nằm trong miền xác định của hàm \(\tan\). Đối với giá trị của m mà \(m < 5\), ta sẽ xét các giá trị nguyên của \(m\) bao gồm: \(m = 0, 1, 2, 3, 4\).

Ta kiểm tra từng giá trị:

- Với \(m = 0\):
\[
\tan 2x = \frac{0 \cdot \sqrt{3}}{0 + 2} = 0
\]
(có nghiệm).

- Với \(m = 1\):
\[
\tan 2x = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{1 + 2} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
(có nghiệm).

- Với \(m = 2\):
\[
\tan 2x = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{2 + 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
(có nghiệm).

- Với \(m = 3\):
\[
\tan 2x = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{3 + 2} = \frac{3\sqrt{3}}{5}
\]
(có nghiệm).

- Với \(m = 4\):
\[
\tan 2x = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{4 + 2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}
\]
(có nghiệm).

Tất cả các giá trị \(0, 1, 2, 3, 4\) đều là nghiệm.

Tính tổng các giá trị này:
\[
0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
\]

Vậy, tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) với điều kiện \(m < 5\) là \(10\).