Để tính độ dài cạnh \( BD \) trong tam giác \( ABD \), chúng ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích tam giác.

### Bước 1: Tính chiều cao \( AH \) của tam giác \( ABD \)

Diện tích tam giác là:

\[
S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}
\]

Với tam giác \( ABD \) có diện tích \( S_{ABD} = 120.7 \, \text{cm}^2 \), chúng ta không biết chiều dài cạnh \( BD \) nhưng cần tính chiều cao từ \( A \) xuống cạnh \( BD \). Gọi \( BD = x \).

Diện tích có thể viết lại như sau:

\[
120.7 = \frac{1}{2} \times x \times AH
\]

=> \( AH = \frac{241.4}{x} \)

### Bước 2: Tính chiều cao \( AC \) của tam giác \( ADC \)

Tương tự, diện tích tam giác \( ADC \) có diện tích \( S_{ADC} = 34 \, \text{cm}^2 \):

\[
34 = \frac{1}{2} \times DC \times AC
\]

Biết \( DC = 4 \, \text{cm} \):

\[
34 = \frac{1}{2} \times 4 \times AC
\]

=> \( 34 = 2 \times AC \)

=> \( AC = 17 \, \text{cm} \)

### Bước 3: Liên hệ giữa chiều cao và \( BD \)

Chúng ta biết rằng \( AH = AC \), do đó:

\[
\frac{241.4}{x} = 17
\]

### Bước 4: Tìm \( x \)

Giải phương trình trên:

\[
241.4 = 17x
\]
\[
x = \frac{241.4}{17} = 14.2 \, \text{cm}
\]

### Kết luận

Độ dài cạnh \( BD \) là \( 14.2 \, \text{cm} \).