Để tìm bậc của đơn thức \(2x^{2}y(2y^{3})^{2}\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Rút gọn đơn thức**:
- Tính toán \( (2y^{3})^{2} \):
\[
(2y^{3})^{2} = 2^{2} \cdot (y^{3})^{2} = 4y^{6}
\]

2. **Thay vào biểu thức**:
\[
2x^{2}y(2y^{3})^{2} = 2x^{2}y \cdot 4y^{6}
\]

3. **Nhân các đơn thức**:
\[
2x^{2}y \cdot 4y^{6} = (2 \cdot 4) \cdot x^{2} \cdot (y \cdot y^{6}) = 8x^{2}y^{7}
\]

4. **Xác định bậc của đơn thức**:
- Bậc của đơn thức sẽ là tổng số mũ của tất cả các biến trong đơn thức:
\[
\text{Bậc} = 2 + 7 = 9
\]

Vậy bậc của đơn thức \(2x^{2}y(2y^{3})^{2}\) là **9**.