Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta cần sử dụng một số tính chất cơ bản về hình học và các trung điểm trong tam giác.

### a) Chứng minh tứ giác DECH là hình bình hành.

- **Giả thiết**: Tam giác ABC là tam giác cân tại A, nghĩa là AB = AC.
- **Điểm D** là trung điểm của AB, **E** là trung điểm của AC, và **H** là trung điểm của BC.

**Chứng minh:**
- Ta có \(\overline{AD} = \overline{DB}\) (vì D là trung điểm của AB) và \(\overline{AE} = \overline{EC}\) (vì E là trung điểm của AC).
- Do ABC là tam giác cân tại A, nên \(\overline{AB} = \overline{AC}\) suy ra \(\overline{AD} = \overline{AE}\).
- Xét tam giác ABE và tam giác AHC:
- Trong tam giác ABE, do D và E là trung điểm nên \( AE \parallel DH \) và \( AD \parallel EH \).
- Do đó, \( DE \parallel HC \) và \( DE = HC \) (tính chất của trung điểm trong tam giác cân).

Vậy DECH là hình bình hành vì hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

### b) Chứng minh tứ giác AHCF là hình chữ nhật.

- **Giả thiết**: F là điểm đối xứng của H qua E.

**Chứng minh:**
- Để chứng minh AHCF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các góc ở A và H đều là 90 độ.

1. **Góc A**:
- Trong tam giác ABC, vì ABC là tam giác cân tại A, nên góc BAE = góc CAE.
- Bây giờ, DEHC đã là hình bình hành, do đó DE // HC, và góc HDC = góc AEF.

2. **Góc H**:
- F là điểm đối xứng của H qua E, nghĩa là EF = EH và góc EHF = 180 độ.
- Vì EF // AH (tính chất của đối xứng), do đó, góc HEF = 90 độ (tại H).

Vì vậy, AHCF là hình chữ nhật (có 1 góc vuông).

Từ đó, ta đã chứng minh xong cả hai phần a) và b) của bài toán.