a) Tứ giác ADME là hình bình hành. Điều này xảy ra vì:

- AD // ME (do DE là hình chiếu của M trên AC, và AC là đường chéo trong tứ giác)
- AM = MD (M là trung điểm của BC, nên AM = MB)

Do đó, hai cặp cạnh đối diện là song song và bằng nhau, cho nên tứ giác ADME là hình bình hành.

b) Để chứng minh DE = 1/2 BC, ta có:

- M là trung điểm của BC, nên BM = MC = 1/2 BC.
- DE // AB và DE = ME (do DE là hình chiếu của M trên AC).

Do vậy, DE là chiều cao từ M xuống đường thẳng DE trong tam giác ADB, và DE sẽ bằng 1/2 BC.

c) Gọi P là trung điểm của BM và Q là trung điểm của MC. Tứ giác DPQE sẽ là hình bình hành khi P và Q cũng nằm trên các đoạn thẳng song song với DE.

d) Để hình bình hành DPQE trở thành hình chữ nhật, ta cần đảm bảo rằng tất cả các góc của tứ giác đều là 90 độ. Điều này có thể đạt được nếu A, B, C, D, M đều nằm trên một đường thẳng vuông góc với nhau.