Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho phân số \(\frac{x-3}{y-2} = \frac{3}{2}\) là số nguyên, trước tiên ta cần giải hệ phương trình từ những thông tin đã cho.

Ta có hai phương trình:

1. \(\frac{x-3}{y-2} = \frac{3}{2}\)
2. \(x - y = 4\)

Từ phương trình đầu tiên, ta nhân chéo để đưa về dạng phương trình:

\[
2(x - 3) = 3(y - 2)
\]

Mở rộng và sắp xếp lại ta có:

\[
2x - 6 = 3y - 6 \quad \Rightarrow \quad 2x = 3y \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3y}{2}
\]

Bây giờ ta thay giá trị \( x \) vào phương trình thứ hai:

\[
\frac{3y}{2} - y = 4
\]

Biến đổi phương trình này:

\[
\frac{3y}{2} - \frac{2y}{2} = 4 \quad \Rightarrow \quad \frac{y}{2} = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 8
\]

Sau khi tính được \( y \), ta thay lại vào phương trình để tìm \( x \):

\[
x = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12
\]

Ta có \( x = 12 \) và \( y = 8 \).

Tiếp theo, để phân số \(\frac{x-3}{y-2}\) là số nguyên, ta tính:

\[
\frac{x-3}{y-2} = \frac{12-3}{8-2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}
\]

Phân số này không phải là một số nguyên. Tuy nhiên, ta xem điều kiện \( \frac{x-3}{y-2} \) có thể bằng một số nguyên \( k\):

\[
\frac{x-3}{y-2} = k \Leftrightarrow x - 3 = k(y - 2) \Leftrightarrow x = k(y - 2) + 3
\]

Kết hợp với \( x - y = 4\):

\[
k(y - 2) + 3 - y = 4
\]

Sau khi sắp xếp ta có:

\[
k(y - 2) - y + 3 - 4 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad ky - 2k - y + 3 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (k - 1)y = 2k + 1
\]

Vì \( y \) phải là một số tự nhiên, ta cần điều kiện \( 2k + 1 \) là chia hết cho \( k - 1\).

Áp dụng việc thử các giá trị của \( k \) và thay ngược trở lại, ta sẽ tìm ra các giá trị cho \( n \) trong thông số mà đề bài yêu cầu.

Do việc tìm kiếm có thể phức tạp, hãy cho biết rõ hơn nếu bạn có gì cụ thể về số tự nhiên bạn cần tìm.

Nhưng từ phân tích trên, cho thấy \( n \) là một số tự nhiên thỏa mãn sự phân tích trên về phân số và làm cho \( \frac{x-3}{y-2} \) trở thành một số nguyên.