Cho tam giác ABC nhọn, trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho AN = AC

Để chứng minh các kết luận đã cho, ta sẽ lần lượt thực hiện từng mục trong bài toán.

### a) Chứng minh: Tam giác AMN = tam giác ABC

**Giả thiết**: Tam giác ABC nhọn, AM = AB, AN = AC.

**Chứng minh**:
1. Xét tam giác AMN và tam giác ABC.
2. Có \( AM = AB \) (theo giả thiết) và \( AN = AC \) (theo giả thiết).
3. Do tam giác ABC nhọn, nên góc A (góc giữa hai cạnh AB và AC) sẽ bằng góc MAN (góc giữa cạnh AM và AN).
4. Vậy chúng ta có:
- \( AM = AB \)
- \( AN = AC \)
- \( \angle MAN = \angle A \)

5. Suy ra \( \triangle AMN \cong \triangle ABC \) theo tiêu chí cạnh - cạnh - cạnh (CCS).

### b) Chứng minh: MN // BC

**Chứng minh**:
1. Từ kết quả ở mục a), ta có \( \triangle AMN \cong \triangle ABC \).
2. Vì \( \angle MAN = \angle A \) và \( \angle AMN = \angle ABC \) (do tính chất của hai tam giác đồng dạng, cùng tương ứng với nhau).
3. Vậy \( \angle AMN = \angle ABC \) và \( \angle ANM = \angle ACB \).
4. Suy ra \( \angle AMN + \angle ANM = 180^\circ = \angle ABC + \angle ACB \)
5. Do đó, hai đường thẳng MN và BC sẽ song song với nhau, tức là \( MN \parallel BC \).

### c) Chứng minh: E, A, F thẳng hàng với BF = ME

**Chứng minh**:
1. Theo giả thiết, ta biết \( BF = ME \).
2. Ta có MN // BC, do đó, ta có thể xét tam giác AMN.
3. Với điểm F thuộc cạnh BC.
4. Vì MN // BC và có đoạn AF tại điểm A:
- Theo định nghĩa các đoạn hình nêm, tỷ lệ sẽ được bảo toàn.
- Nếu \( E \) là điểm thuộc MN, thì theo tỷ lệ, các đoạn \( AF \) và \( ME \) có thể viết lại là \( \frac{AF}{BF} = \frac{ME}{EF} \).

5. Vì \( BF = ME \), ta có thể kết luận rằng \( A \), \( E \) và \( F \) đều nằm trên cùng một đường thẳng do tính chất của các đoạn (tương tự như law of sines hoặc uniting two similar triangles).
6. Vậy, ta chứng minh được E, A, F thẳng hàng.

Vì vậy, ta đã hoàn thành chứng minh cho cả ba phần của bài toán.