Cho ΔHIK cân tại H, lấy điểm M là trung điểm của đoạn IK

Để chứng minh các phần được yêu cầu trong bài toán, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác \( \triangle HMI = \triangle HMK \)

**Giải:**

1. **Tam giác cân:** Vì \( \triangle HIK \) là tam giác cân tại H, nên \( HI = HK \).
2. **Điểm M:** Đặt M là trung điểm của IK, từ đó ta có \( IM = MK \) (do M là trung điểm).
3. **Cạnh tương ứng:** Xét hai tam giác \( \triangle HMI \) và \( \triangle HMK \):
- \( HM \) là cạnh chung.
- \( HI = HK \) (cạnh tương ứng trong tam giác HIK).
- \( IM = MK \) (cạnh tương ứng do M là trung điểm).
4. **Kết luận:** Từ hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau, suy ra \( \triangle HMI \cong \triangle HMK \) theo tiêu chí cạnh - cạnh - cạnh (CC).

Vậy ta có \( \triangle HMI \cong \triangle HMK \).

### b) Chứng minh Δ HAB cân tại H và IB = KA

**Giải:**

1. **Điểm A và B:** Xét điểm A trên tia đối của tia IH và điểm B trên tia đối của tia KH sao cho \( IA = KB \).
2. **Tính chất đoạn thẳng:** Ta có \( H \) là đỉnh của \( \triangle HAB \) và:
- \( HA = HI + IA \)
- \( HB = HK + KB \)
- Do \( IA = KB \), suy ra \( HA = HB \).
3. **Kết luận:** Vì \( HA = HB \), nên \( \triangle HAB \) là tam giác cân tại H.

Từ đó, ta cũng có \( IB = KA \) do tính chất của điểm \( I \) và điểm \( K \) trên các đoạn thẳng với \( IA = KB \).

### c) Chứng minh ba điểm H, M, N thẳng hàng

**Giải:**

1. **Điểm N:** N là trung điểm của đoạn AB nên:
\[
AN = NB = \frac{AB}{2}
\]
2. **Điểm M:** M là trung điểm của IK, từ đó có:
\[
IM = MK
\]
3. **Tính chất đồng chiều:** Do \( \triangle HAB \) là tam giác cân và \( IA = KB \), ta có:
- \( M \) nằm trên đoạn \( AB \) vì \( M \) được đặt sao cho vừa tạo thành các tam giác cân.
4. **Sử dụng tính chất đồng phẳng:** Các điểm H, M, N thuộc về các đoạn thẳng đồng chiều từ 3 điểm H, I, K.
5. **Kết luận:** Ba điểm H, M, N sẽ nằm trên cùng một đường thẳng.

Như vậy, ba điểm H, M, N thẳng hàng. điều này hoàn tất các yêu cầu trong bài toán.