Cho tam giác ABC nhọn, trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho AN = AC

Để chứng minh các khẳng định được đưa ra, chúng ta sẽ sử dụng tính chất đồng dạng của tam giác và các tính chất tuyến tính.

### a) Chứng minh: Tam giác AMN = tam giác ABC

Các bước chứng minh:

1. **Xét độ dài các cạnh**:
- Theo giả thiết, ta có \( AM = AB \) và \( AN = AC \).

2. **Xét các góc**:
- Xét tam giác \( ABC \), nó có các góc \( \angle ACB \) và \( \angle ABC\).
- Ta có:
- \( \angle AMN = \angle ABC \) (do tia AM và tia AB đối với điểm A)
- \( \angle ANM = \angle ACB \) (do tia AN và tia AC đối với điểm A)

Do đó, ta có:
- \( AM = AB \)
- \( AN = AC \)
- \( \angle AMN = \angle ABC \)
- \( \angle ANM = \angle ACB \)

Theo định lý giống nhau của tam giác, chúng ta suy ra rằng tam giác \( AMN \sim \) tam giác \( ABC \).

Kết luận rằng tam giác \( AMN \) đồng dạng với tam giác \( ABC \).

### b) Chứng minh: MN // BC

Dựa vào tính chất của tam giác đồng dạng:

1. **Có hai tam giác đồng dạng**: \( AMN \sim ABC \).
2. **Áp dụng tỉ lệ**:
- Từ tam giác \( AMN \sim ABC \), ta có:
\[
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}
\]
3. Do \( AM = AB \) và \( AN = AC \), suy ra \( MN = k \cdot BC \) với \( k \) là tỉ lệ từ giống nhau.
4. Suy ra \( MN // BC \) (bởi vì hai đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ với nhau và trên hai đường thẳng song song).

### c) Chứng minh: E, A, F thẳng hàng

Giả sử có điểm \( F \) thuộc cạnh \( BC \) và \( E \) thuộc cạnh \( MN \). Ta có:

1. **Giả thuyết**: \( BF = ME \). Điều này có nghĩa là đoạn thẳng \( A \) tạo ra một hình chiếu tương đồng giữa \( ME \) và \( BF \).

2. **Tam giác tương đồng**:
- Đối với tam giác \( AMN \) và \( ABC \):
- \( E \) nằm trên cạnh \( MN \)
- \( F \) thuộc cạnh \( BC \) với tỉ lệ đã được xác định \( BF = ME \).

3. **Tính chất tương đương**:
- Bởi vì \( MN \) và \( BC \) là song song, các đoạn thẳng được tạo ra theo tỷ lệ này sẽ đồng quy tại điểm nào đó trên đường thẳng nối giữa \( A \) và \( F \).

Do đó, có thể kết luận rằng \( E, A, F \) thẳng hàng do tính song song và quy luật tương tỷ lệ của các đoạn thẳng trong tam giác.

### Kết luận

Từ các phân tích trên, chúng ta đã chứng minh được:
a) Tam giác \( AMN \) đồng dạng với tam giác \( ABC \).
b) Đoạn thẳng \( MN \) song song với đoạn thẳng \( BC \).
c) Điểm \( E, A, F \) thẳng hàng.