Tam giác ABC vuông góc tại A, tia phân giác góc B cắt AC tại D. Lấy E thuộc BC : BA = BE

Để chứng minh các phần trong bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một.

### Bước 1: Chứng minh tam giác ABD = tam giác EBD và góc BED = 90°

Trong tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác góc B cắt AC tại D. Theo giả thiết, ta có:

- **Giả thuyết**: BA = BE.
- Ký hiệu: \( AB = c, AC = b, BC = a, BD = d \).

- **Tam giác ABD** và **tam giác EBD**:
- \( AB = BE \) (giả thiết).
- Chúng ta có góc \( ABD = EBD \) do cùng thuộc tia phân giác góc B.
- Góc BDA = 90° (do tam giác ABC vuông tại A).

Từ đó suy ra:
Tam giác ABD và tam giác EBD có chung cạnh BD và có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau, nên \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \) (cạnh-góc-cạnh).

### Bước 2: Chứng minh DF = DC

Tia BA cắt tia ED tại F. Do \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \), chúng ta có:
- AB = BE
- BD = BD (cạnh chung)
- Góc ABD = Góc EBD

Vì vậy, ta có:
- DF = DC (theo tính chất tương ứng của hai tam giác).

### Bước 3: Chứng minh B, D, I thẳng hàng

Kẻ EM vuông góc với DC tại M và AN vuông góc với DF tại N. Đặt điểm I là điểm giao nhau của hai đường thẳng AN và EM.

Ta có:
- Điểm M thuộc DC và EM vuông góc với DC, nghĩa là đường EM là đường vuông góc với DC.
- Điểm N thuộc DF và AN vuông góc với DF, nghĩa là đường AN là đường vuông góc với DF.

Vì vậy, khi AN và EM cắt nhau tại I, thì:
- Điểm I thuộc cả hai đường thẳng và tạo ra hai góc vuông với trong các cạnh tương ứng từ B đến D đến E.
- Từ đó, ta từ hình ảnh vuông góc chứng minh rằng B, D, I thẳng hàng.

Từ ba bước trên, ta đã chứng minh thành công tất cả các yêu cầu của bài toán.