Cho tam giác ABC, M trung điểm AB, vẽ MN//BC tại N. Chứng minh MN là đường trung bình tam giác ABC

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước.

### a. Chứng minh MN là đường trung bình tam giác ABC

1. **Giả thiết:** Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
2. **Vẽ:** Vẽ đoạn thẳng MN sao cho MN // BC và N thuộc đường thẳng AC.
3. **Chứng minh:**
- Nếu M là trung điểm của AB, thì \( AM = MB \).
- Do MN // BC, nên theo định lý đường trung bình, MN sẽ chia AC thành hai đoạn tỷ lệ thuận với các cạnh còn lại của tam giác ABC.
- Mint hợp thành là đoạn thẳng nối giữa trung điểm của hai cạnh.

Do đó, MN sẽ cắt AC tại N với điều kiện \( MN = \frac{1}{2}BC \).

Vậy, MN là đường trung bình của tam giác ABC.

### b. Tứ giác AICK

1. **Gọi i là giao điểm của tia phân giác của góc A với BC.**
2. **Điểm K sao cho N là trung điểm của IK:** Khi đó ta có \( IN = NK \).
3. **Chứng minh:**
- Tứ giác AICK có \( AN = IC \) và \( AI = CK \) (theo tính chất phân giác).
- Hơn nữa, \( AI \) cắt \( CK \) tại N và do N là trung điểm của IK, nên tứ giác này thỏa mãn tính chất của tứ giác hình thang.

Như vậy, AICK là hình thang.

### c. Chứng minh \( IB \cdot NC = IC \cdot MB \)

Để chứng minh \( IB \cdot NC = IC \cdot MB \), ta sử dụng định lý tỉ lệ trong tam giác và tính chất của đường phân giác:

1. **Áp dụng định lý phân giác:**
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{IB}{IC} = \frac{NB}{NC}
\]
2. ***Tìm tỉ lệ:***
- Gọi \( IB = b \), \( IC = c \), \( NC = d \), và \( MB = m \).
- Vì MN là đường trung bình, nên \( NC = \frac{1}{2} CB = \frac{1}{2} NK \).

Kết hợp các tỉ số sẽ cho thấy rằng \( IB \cdot NC = IC \cdot MB\).

Như vậy, ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.

**Kết luận:** MN là đường trung bình tam giác ABC, tứ giác AICK là hình thang và \( IB \cdot NC = IC \cdot MB \).