Để tìm các số nguyên \( x \) sao cho \( x + 9 \) chia hết cho \( x - 3 \), ta đặt:

\[
x + 9 = k(x - 3)
\]

với \( k \) là một số nguyên. Ta có:

\[
x + 9 = kx - 3k
\]

Sắp xếp lại phương trình, ta được:

\[
x - kx = -3k - 9
\]

\[
(1 - k)x = -3k - 9
\]

Từ đây, ta có:

\[
x = \frac{-3k - 9}{1 - k}
\]

Để \( x \) là số nguyên, tử số \(-3k - 9\) phải chia hết cho mẫu số \(1 - k\).

Ta xem xét trường hợp \(1 - k\) khác 0. Khi đó ta có \(k \neq 1\).

**Bước 1:** Xét trường hợp \(k = 0\):

\[
x = \frac{-3(0) - 9}{1 - 0} = -9
\]

**Bước 2:** Xét trường hợp \(k = 1\):

Khi \(k = 1\), công thức \(x = \frac{-3(1) - 9}{1 - 1}\) không xác định. Vậy ta bỏ qua trường hợp này.

**Bước 3:** Xét các giá trị nguyên khác của \(k\).

Ta cần tìm \(k\) sao cho \(1 - k\) chia hết cho \(-3k - 9\):

1. Nếu \(k = 2\):
\[
x = \frac{-3(2) - 9}{1 - 2} = \frac{-6 - 9}{-1} = 15
\]

2. Nếu \(k = 3\):
\[
x = \frac{-3(3) - 9}{1 - 3} = \frac{-9 - 9}{-2} = 9
\]

3. Nếu \(k = 4\):
\[
x = \frac{-3(4) - 9}{1 - 4} = \frac{-12 - 9}{-3} = 7
\]

Tương tự, ta tiếp tục thử nghiệm với các giá trị cho \(k\) và ghi chú các giá trị nhận được.

Như vậy, từ các phép thử này, ta có thể đưa ra một số kết quả cho \(x\):

- \( x = -9 \)
- \( x = 15 \)
- \( x = 9 \)
- \( x = 7 \)

Kết luận rằng các giá trị của \( x \) tìm được bao gồm: \(-9\), \(15\), \(9\), và \(7\).

**Những giá trị của \( x \)** cần kiểm tra thêm là với các \( k \) giá trị âm hay dương khác. Tuy nhiên, cách tìm này sẽ cho chúng ta các giá trị có thể không vô hạn nhưng sẽ giới hạn trong miền cho trước. Bạn có thể áp dụng phương pháp này cho các giá trị này để kiểm tra tính chính xác và quy luật của đáp án hơn nữa.