Để giải phương trình lượng giác \( \sin 2x = \sin 3x \), ta sẽ sử dụng định lý về sự bình đẳng của sin:

\[
\sin A = \sin B \Longleftrightarrow A = B + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad A = \pi - B + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}
\]

Áp dụng vào phương trình của chúng ta, ta có:

1. \( 2x = 3x + 2k\pi \)
2. \( 2x = \pi - 3x + 2k\pi \)

### Giải phương trình thứ nhất

Từ phương trình \( 2x = 3x + 2k\pi \):

\[
2x - 3x = 2k\pi \\
-x = 2k\pi \\
x = -2k\pi
\]

### Giải phương trình thứ hai

Từ phương trình \( 2x = \pi - 3x + 2k\pi \):

\[
2x + 3x = \pi + 2k\pi \\
5x = \pi + 2k\pi \\
x = \frac{\pi + 2k\pi}{5}
\]

### Tổng hợp nghiệm

1. Từ phương trình thứ nhất, ta có nghiệm: \( x = -2k\pi \), với \( k \in \mathbb{Z} \).
2. Từ phương trình thứ hai, ta có nghiệm: \( x = \frac{\pi + 2k\pi}{5} \), với \( k \in \mathbb{Z} \).

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình \( \sin 2x = \sin 3x \) là:

\[
x = -2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi(1 + 2k)}{5}, \; k \in \mathbb{Z}
\]