Để tìm hai chữ số tận cùng của \( 3^{999} \), chúng ta cần tính \( 3^{999} \mod 100 \). Ta có thể áp dụng định lý Trung bình Euler (hoặc Định lý nhỏ Fermat) để giải bài toán này. Đầu tiên, ta cần tính \( \phi(100) \):

\[
100 = 2^2 \cdot 5^2
\]
\[
\phi(100) = 100 \left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{5}\right) = 100 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = 40
\]

Do đó, \( \phi(100) = 40 \). Theo định lý Euler, chúng ta có:

\[
3^{40} \equiv 1 \mod 100
\]

Bây giờ, để tính \( 3^{999} \mod 100 \), chúng ta tính \( 999 \mod 40 \):

\[
999 \div 40 = 24 \quad \text{và} \quad 999 \mod 40 = 39
\]

Vậy ta sẽ tính \( 3^{999} \equiv 3^{39} \mod 100 \).

Tiếp theo, để tính \( 3^{39} \mod 100 \), ta có thể dùng phương pháp lũy thừa theo từng bước (nhân lũy thừa). Ta sẽ tính lũy thừa theo từng bước.

\[
3^1 \equiv 3
\]
\[
3^2 \equiv 9
\]
\[
3^4 \equiv 9^2 = 81
\]
\[
3^8 \equiv 81^2 = 6561 \mod 100 \equiv 61
\]
\[
3^{16} \equiv 61^2 = 3721 \mod 100 \equiv 21
\]
\[
3^{32} \equiv 21^2 = 441 \mod 100 \equiv 41
\]

Bây giờ, ta sẽ viết \( 39 \) dưới dạng tổng các lũy thừa của 2:

\[
39 = 32 + 4 + 2 + 1
\]

Do đó, ta có:

\[
3^{39} = 3^{32} \cdot 3^4 \cdot 3^2 \cdot 3^1
\]

Bây giờ ta thay các giá trị đã tính:

\[
3^{39} \equiv 41 \cdot 81 \cdot 9 \cdot 3 \mod 100
\]

Tính \( 41 \cdot 81 \):

\[
41 \cdot 81 = 3321 \mod 100 \equiv 21
\]

Tiếp theo, tính \( 21 \cdot 9 \):

\[
21 \cdot 9 = 189 \mod 100 \equiv 89
\]

Cuối cùng, tính \( 89 \cdot 3 \):

\[
89 \cdot 3 = 267 \mod 100 \equiv 67
\]

Vậy hai chữ số tận cùng của \( 3^{999} \) là \( \boxed{67} \).