Để chứng minh rằng \( p + 8 \) là hợp số khi \( p \) và \( p + 4 \) là hai số nguyên tố lớn hơn 3, ta thực hiện như sau:

1. **Xét tính chất của số nguyên tố**:
- Đối với số nguyên tố \( p \), do \( p > 3 \) nên \( p \) có dạng \( 6k + 1 \) hoặc \( 6k + 5 \) (vì mọi số nguyên đều có dạng \( 6k + r \) với \( r \) là 0, 1, 2, 3, 4, hoặc 5 và chỉ số 1 hoặc 5 mới có thể là số nguyên tố lớn hơn 3).

2. **Tính toán cho các trường hợp**:
- **Trường hợp 1**: Giả sử \( p = 6k + 1 \):
\[
p + 4 = (6k + 1) + 4 = 6k + 5
\]
- Vậy \( p = 6k + 1 \) và \( p + 4 = 6k + 5 \) đều là số nguyên tố (lớn hơn 3).
- Tính \( p + 8 \):
\[
p + 8 = (6k + 1) + 8 = 6k + 9 = 3(2k + 3)
\]
- \(\Rightarrow p + 8\) là một bội số của 3 (và lớn hơn 3), nên \( p + 8 \) là hợp số.

- **Trường hợp 2**: Giả sử \( p = 6k + 5 \):
\[
p + 4 = (6k + 5) + 4 = 6k + 9
\]
- Vậy \( p + 4 \) không cần phải kiểm tra, nó cũng là hợp số (vì \( 6k + 9 = 3(2k + 3) \)).
- Tính \( p + 8 \):
\[
p + 8 = (6k + 5) + 8 = 6k + 13
\]
- Số \( 6k + 13 \) không nhất thiết phải là một trường hợp đặc biệt nhưng để kiểm tra tính hợp số, ta cũng xét kỹ.

3. **Kết luận**:
- Trong cả hai trường hợp, \( p + 8 \) đều có thể nhận dạng là hợp số. Trong trường hợp 1, rõ ràng là số chia hết cho 3, đảm bảo tính hợp số.
- Trong trường hợp 2, mặc dù không chia đều cho 3, nhưng \( p + 4 \) là hợp số.
- Tuy nhiên, với \( p = 6k + 5\), \( p \) và \( p + 4 \) vừa là số nguyên tố vừa là trường hợp đặc biệt, ta cũng có:
\[
p + 8 \geq 11 (với k = 1, p = 5).
\]

Như vậy, cả hai trường hợp đều chỉ ra rằng \( p + 8 \) là hợp số.

**Kết quả cuối cùng**: Khi \( p \) và \( p + 4 \) là số nguyên tố lớn hơn 3, thì \( p + 8 \) là hợp số.