Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và các quan hệ hình học.

### a. Chứng minh \( \triangle ABM = \triangle ACM \)

1. **Tam giác ABC có tính chất cân tại A**: Điều này có nghĩa là \( AB = AC \) và góc \( \angle ACB = \angle ABC \).
2. **M là trung điểm của BC**: Do đó, \( BM = MC \).

Vì vậy, chúng ta đã có:
- \( AB = AC \)
- \( BM = MC \)

Ta sẽ chứng minh rằng \( AM = AM \) (dễ dàng thấy).

Theo tiên đề, tam giác có hai cạnh bằng nhau và một cạnh chung sẽ dẫn đến hai tam giác bằng nhau. Do đó, từ điều kiện trên, ta có:

\[
\triangle ABM \cong \triangle ACM
\]

Vì vậy, \( \triangle ABM = \triangle ACM \).

### b. Chứng minh \( AB \parallel CD \)

1. Từ điều kiện đã cho, điểm D được lấy sao cho \( MD = MA \) với M là trung điểm của BC. Chúng ta có:
- \( ME \perp AB \) (do đề bài).
- \( MF \perp CD \) (do đề bài).

2. Do hai cặp đường thẳng \( AB \) và \( ME \) là vuông góc, nên góc \( \angle ABE \) và \( \angle BMD \) tạo thành hai đường thẳng vuông góc.

Từ tính chất vuông góc và mối quan hệ giữa các cạnh, ta có thể khẳng định rằng:

\[
AB \parallel CD
\]

### c. Chứng minh M là trung điểm của EF

1. Khi \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( MD = MA \), và từ điều kiện ta đã thiết lập trước đó rằng:
- \( ME \perp AB \)
- \( MF \perp CD \)

2. Từ tính chất của hình chữ nhật hoặc hình bình hành (hay các tính chất của các hình liên quan với các đường vuông góc), ta có thể thấy rằng chiều dài của đoạn \( EF \) từ E đến F sẽ được chia đều tại M.

Bởi vì:
- \( ME = MF \) do tính chất vuông góc, và \( M \) chia đoạn EF thành hai phần bằng nhau.

Do đó, ta có thể kết luận rằng:

\[
M \text{ là trung điểm của } EF.
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được:

a. \( \triangle ABM = \triangle ACM \)

b. \( AB \parallel CD \)

c. \( M \) là trung điểm của \( EF \)