Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD qua D. Kẻ đường thẳng DE vuông góc với AB . Tính độ dài AE, BE biết AB=9, AC=12

Để giải bài toán này, ta bắt đầu bằng cách xác định tọa độ các điểm trong tam giác vuông ABC.

- Giả sử A là điểm gốc tại tọa độ (0, 0).
- B có tọa độ (9, 0) (vì AB = 9).
- C có tọa độ (0, 12) (vì AC = 12).

Ta cần tính độ dài AE và BE, với D là điểm trên cạnh BC sao cho AD là phân giác của góc A. Đầu tiên, ta tính độ dài BC:

\[
BC = \sqrt{(9 - 0)^2 + (0 - 12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15.
\]

Đặt D là điểm chia BC thành hai đoạn BD và DC theo tỷ lệ AB:AC. Bởi vì AD là phân giác, ta có:

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}.
\]

Gọi BD = 3k và DC = 4k cho một số k. Khi đó:

\[
BD + DC = BC \implies 3k + 4k = 15 \implies 7k = 15 \implies k = \frac{15}{7}.
\]

Do đó:

- \( BD = 3k = \frac{45}{7} \),
- \( DC = 4k = \frac{60}{7} \).

Sử dụng tỷ lệ để tìm tọa độ điểm D:

- Toạ độ D sẽ chia BC theo tỉ lệ, có công thức:

\[
D = \left(\frac{x_B \cdot DC + x_C \cdot BD}{BD + DC}, \frac{y_B \cdot DC + y_C \cdot BD}{BD + DC}\right).
\]

Thay vào:

\[
D_x = \frac{9 \cdot \frac{60}{7} + 0 \cdot \frac{45}{7}}{15} = \frac{540/7}{15} = \frac{540}{105} = \frac{108}{21} = \frac{36}{7},
\]
\[
D_y = \frac{0 \cdot \frac{60}{7} + 12 \cdot \frac{45}{7}}{15} = \frac{540/7}{15} = \frac{540}{105} = \frac{108}{21} = \frac{36}{7}.
\]

Vậy tọa độ D là \( D\left(\frac{36}{7}, \frac{60}{7}\right) \).

Bây giờ tính DE vuông góc với AB, mà DE nằm trên đường thẳng x = AE. Để tìm AE và BE, đầu tiên tìm tọa độ E:

1. E nằm trên AB, tức là E có tọa độ (x, 0) với x ≤ 9.
2. Sử dụng tính chất vuông góc với AD. Đường thẳng AD có phương trình:
\[
\frac{y - 0}{x - 0} = \text{slope of AD}.
\]

Tính slope của AD với D:
- \( \text{slope of AD} = \frac{\frac{60}{7} - 0}{\frac{36}{7} - 0} = \frac{60}{36} = \frac{5}{3}. \)

Ta có phương trình của AD qua A thì:
\[
y = \frac{5}{3}x.
\]

Biểu diễn cho DE:
- DE vuông góc với AB nên DE có slope -1. Vậy phương trình DE là:
\[
y - 0 = -1(x - x_E) \Rightarrow y = -x + x_E.
\]

Để tìm giao điểm E, đặt y = 0 từ DE vào phương trình:
\[
0 = -x + x_E \implies x_E = 0.
\]

Từ D, tìm AE và BE:
- AE = x_E - 0 = 0
- BE = 9 - 0 = 9

Vậy độ dài AE, BE là:
\[
AE = 0, \quad BE = 9.
\]