Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của AB. Gọi G là giao điểm của AC và DM. Lấy điểm E thuộc đoạn thẳng AM. Các đường thẳng GE và CD cắt nhau tại F

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần theo yêu cầu.

### Phần a:
**Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABD.**

1. **Tính tọa độ các điểm:**
- Giả sử tọa độ điểm \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, b) \), \( D(0, b) \).
- Điểm \( M \) (trung điểm của AB):
\[
M\left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]

2. **Tìm phương trình đường thẳng AC:**
- Phương trình AC: \( y = \frac{b}{a}x \)

3. **Tìm phương trình đường thẳng DM:**
- Đường thẳng DM đi qua điểm D và M:
- Độ dốc:
\[
\text{slope} = \frac{0 - b}{\frac{a}{2} - 0} = -\frac{2b}{a}
\]
- Phương trình DM:
\[
y - b = -\frac{2b}{a}(x - 0) \implies y = -\frac{2b}{a}x + b
\]

4. **Giao điểm G của AC và DM:**
- Giải hệ phương trình giữa hai phương trình AC và DM:
\[
\frac{b}{a}x = -\frac{2b}{a}x + b
\]
Tìm x và thay vào tìm y.

5. **Chứng minh G là trọng tâm:**
- Tọa độ G (kết quả tính toán từ bước trước) và chứng minh tọa độ G tương ứng với trọng tâm \( T\left(\frac{x_A + x_B + x_D}{3}, \frac{y_A + y_B + y_D}{3}\right) \).

### Phần b:
**Chứng minh rằng GC = 2GA.**

1. Tìm tọa độ các điểm A, C, G. Tính khoảng cách \( GA \) và \( GC \).

2. Sử dụng định lý khoảng cách và chứng minh \( GC = 2GA \).

### Phần c:
**Kết luận qua G liên tục cắt các cạnh AD và BC lân cận tại K.**

1. Sử dụng tính chất hình học của tam giác và tỉ lệ đoạn thẳng.

### Phần d:
**Gọi N là trung điểm của AD. Chứng minh rằng BF = 2EN.**

1. Áp dụng tính chất trung điểm và khoảng cách giữa các điểm để chứng minh.

### Bài 11:
**Chứng minh B1 là trung điểm của IC.**

1. Tính tọa độ và sử dụng tính chất hình bình hành để chứng minh độ dài đoạn thẳng.

**Lưu ý:** Để tiếp cận bài toán một cách chi tiết hơn, bạn cần thực hiện từng bước cụ thể cho từng phần, sử dụng các công thức toán học liên quan đến tọa độ, khoảng cách, và tính chất của hình học.