Để chứng minh các điểm a), b), và c) trong bài toán về tam giác ABC với các điểm M và N là trung điểm của các cạnh AB và AC, ta sẽ sử dụng một số tính chất của các tam giác và định lý.

### a) Chứng minh \(\triangle AMN = \triangle CGN\):

1. **Xét các cặp cạnh**:
- \(AM = CN\) (vì M và N là trung điểm của AB và AC).
- \(MN = NG\) (theo hệ thống đề bài).
- \(AN = AC\) (cùng nằm trên một cạnh).

2. **Góc**:
- Góc \(AMN\) và góc \(CGN\) là bằng nhau (vì NM và CG có cùng phương).

Vậy ta có \(\triangle AMN \cong \triangle CGN\) (theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh).

### b) Chứng minh \(MB \parallel GC\):

Từ \(MB\) và \(GC\) là hai đường thẳng:
- \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\).
- Từ bậc của bài toán, nếu \( \triangle AMN \cong \triangle CGN \) thì góc \(\angle AMN = \angle CGN\).

Suy ra \(MB \parallel GC\) (theo định lý góc so le).

### c) Chứng minh \(MN = \frac{1}{2} BC\):

1. Dựa trên tính chất của trung điểm:
- \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\).
- Theo định lý trung điểm, \(MN\) sẽ bằng một nửa độ dài của \(BC\).

Vậy ta có được \(MN = \frac{1}{2} BC\).

### Kết luận:

Từ các bước ở trên, chúng ta đã chứng minh thành công các yêu cầu của bài toán:
a) \(\triangle AMN = \triangle CGN\);
b) \(MB \parallel GC\);
c) \(MN = \frac{1}{2} BC\).