Để tìm số nguyên dương
n sao cho
3n−16,
4n−21, và
5n−23 đều là số nguyên tố, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng biểu thức:
1. **Biểu thức thứ nhất:
3n−16**
3n−16>1⟹3n>17⟹n>173⟹n≥6
(vì
n là số nguyên dương).
2. **Biểu thức thứ hai:
4n−21**
4n−21>1⟹4n>22⟹n>224⟹n≥6
3. **Biểu thức thứ ba:
5n−23**
5n−23>1⟹5n>24⟹n>245⟹n≥5
Tổng hợp lại, ta có điều kiện rằng
n phải lớn hơn hoặc bằng 6. Vậy ta sẽ thử các giá trị nguyên dương của
n từ 6 trở lên.
Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị của
n:
- **Khi
n=6**:
-
3n−16=3×6−16=18−16=2 (nguyên tố)
-
4n−21=4×6−21=24−21=3 (nguyên tố)
-
5n−23=5×6−23=30−23=7 (nguyên tố)
Tất cả đều là số nguyên tố.
- **Khi
n=7**:
-
3n−16=3×7−16=21−16=5 (nguyên tố)
-
4n−21=4×7−21=28−21=7 (nguyên tố)
-
5n−23=5×7−23=35−23=12 (không phải là số nguyên tố)
- **Khi
n=8**:
-
3n−16=3×8−16=24−16=8 (không phải là số nguyên tố)
- **Khi
n=9**:
-
3n−16=3×9−16=27−16=11 (nguyên tố)
-
4n−21=4×9−21=36−21=15 (không phải là số nguyên tố)
- **Khi
n=10**:
-
3n−16=3×10−16=30−16=14 (không phải là số nguyên tố)
- **Khi
n=11**:
-
3n−16=3×11−16=33−16=17 (nguyên tố)
-
4n−21=4×11−21=44−21=23 (nguyên tố)
-
5n−23=5×11−23=55−23=32 (không phải là số nguyên tố)
- **Khi
n=12**:
-
3n−16=3×12−16=36−16=20 (không phải là số nguyên tố)
- **Khi
n=13**:
-
3n−16=3×13−16=39−16=23 (nguyên tố)
-
4n−21=4×13−21=52−21=31 (nguyên tố)
-
5n−23=5×13−23=65−23=42 (không phải là số nguyên tố)
- **Khi
n=14**:
-
3n−16=3×14−16=42−16=26 (không phải là số nguyên tố)
- **Khi
n=15,n=16,…∗∗(tiếptụckiểmtrachocácgiátrịlớnhơnsẽchoranhiềukếtquảkhônglàsốnguyêntố).Cuốicùng,trongkhoảng\(n từ 6 đến 14, chỉ có
n=6 là giá trị duy nhất mà
3n−16,
4n−21, và
5n−23 đều là số nguyên tố.
Vậy nên, số nguyên dương
n thỏa mãn là **1**.