Để tìm số phần tử thuộc tập hợp \( B = \{ a \in \mathbb{Z} \mid (a^2 + 3a + 6)(a + 3) = 0 \} \), ta cần giải phương trình:

\[
(a^2 + 3a + 6)(a + 3) = 0
\]

Để điều này đúng, một trong hai yếu tố phải bằng 0.

**1. Giải \( a + 3 = 0 \)**

\[
a + 3 = 0 \implies a = -3
\]

**2. Giải \( a^2 + 3a + 6 = 0 \)**

Ta sử dụng công thức nghiệm bậc 2:

\[
D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15
\]

Vì \( D < 0 \), phương trình này không có nghiệm thực.

Vậy chỉ có một nghiệm duy nhất là \( a = -3 \) thuộc tập hợp \( B \).

Như vậy, số phần tử thuộc tập hợp \( B \) là \( 1 \).