Để rút gọn biểu thức

\[
A = \frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} + \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}
\]

ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Rút gọn phần đầu**:
- \( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)
- \( \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} + \frac{b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}} + \frac{b\sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}} \)
- \( = \frac{a}{\sqrt{a}} + \frac{b}{\sqrt{b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \)

Vậy phần đầu rút gọn được là \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \).

2. **Rút gọn phần hai**:
- Để rút gọn \( \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \), ta nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \):
\[
\frac{1(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}
\]

3. **Kết hợp hai phần lại**:
- Vậy nguyên biểu thức \( A \) trở thành:
\[
A = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}
\]

4. **Thực hiện gộp:**
- Nếu gộp lại, ta có thể viết là:
\[
A = \left(1 + \frac{1}{a - b}\right)(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \frac{a - b + 1}{a - b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})
\]

Do đó, biểu thức rút gọn cuối cùng là:

\[
A = \frac{(a - b + 1)(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}
\]

Cần chú ý rằng \( a > 0 \) và \( b > 0 \) với \( a \neq b \) như trong đề bài đã cho.