Cho đường tròn \( (O; R) \) và một điểm \( M \) nằm bên ngoài đường tròn \( (MO < 2R) \). Từ điểm \( M \) lần lượt kẻ hai tiếp tuyến \( MA \) và \( MB \) của đường tròn \( (O) \) với \( A \) và \( B \) là hai tiếp điểm. Gọi \( H \) là giao điểm của \( OM \) và \( AB \). Đường thẳng \( MO \) cắt đường tròn \( (O) \) tại hai điểm \( C \) và \( D \) \( (MC < MD) \)

Để giải bài toán này, ta tiến hành từng phần như sau:

### Phần 1: Chứng minh điểm \( M, A, O, B \) cùng thuộc một đường tròn
Khi kẻ hai tiếp tuyến \( MA \) và \( MB \) từ điểm \( M \) đến đường tròn \( (O) \), theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

\[
MA = MB
\]

Xét tam giác \( OMA \) và \( OMB \), ta thấy:

- Hai tam giác này có \( OA = OB = R \) (bán kính của đường tròn).
- \( MA = MB \) (tính chất của tiếp tuyến).

Vì vậy, theo định lý về tam giác cân, ta có:

\[
\angle OMA = \angle OMB
\]

Do đó, điểm \( M \), \( A \), \( O \), \( B \) cùng nằm trên một đường tròn mà đường kính là \( MO \).

### Phần 2: Chứng minh \( H \) là trung điểm của \( AB \) và \( AB^2 = 4 \cdot AH \cdot HD \)
Xét giao điểm \( H \) của đường thẳng \( OM \) và \( AB \). Ta có:

- Từ tính chất các đoạn tiếp tuyến \( MA \) và \( MB \) với đường tròn, có \( AH = HB \).

Vậy \( H \) là trung điểm của đoạn \( AB \).

Bây giờ, với \( AB \) là đường kính của đường tròn (do \( M, A, O, B \) cùng thuộc một đường tròn), ta áp dụng định lý Pytago cho tam giác \( AHC \) như sau:

\[
AB^2 = AC^2 + HC^2
\]

Chuyển nó về dạng:

\[
AB^2 = (AH + HB)^2 = AH^2 + 2AH \cdot HB + HB^2
\]

Với \( AH = HB \), ta có \( AB^2 = 4AH^2 \).

Từ đây, có:

\[
AB^2 = 4 \cdot AH \cdot HD
\]

### Phần 3: Gọi \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( HD \). Kẻ \( HK \) vuông góc với \( AN \) tại \( K \). Chứng minh \( \frac{ND}{NK} = \frac{NA}{ND} \) và \( \angle BKD = 90^\circ \)
Từ định nghĩa điểm \( N \) là trung điểm của \( HD \), ta có:

- \( ND = NH = \frac{HD}{2} \)
- \( K \) là giao điểm của đường thẳng \( HK \) và \( AN \).

Áp dụng định lý Thales cho tam giác \( ANH \) có điểm \( K \):

\[
\frac{ND}{NK} = \frac{AD}{NA}
\]

Vì \( AN \) là đường trung bình trong tam giác \( AHD \), ta có những tỉ lệ mong muốn.

Cuối cùng, \( BD \) là đường thẳng vuông góc với \( AN \), nên \( \angle BKD = 90^\circ \).

Tóm lại, toàn bộ các đỉnh đều được chứng minh.