Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm F trên cạnh AD (F khác A và B), lấy điểm E trên cạnh AB (E khác A và B). Đường thẳng qua D và song song với EF cắt AC và AB lần lượt tại I và M. Đường thẳng qua B và song song với EF cắt AC và CD lần lượt tại K và Q

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác BMDQ là hình bình hành.

Để chứng minh BMDQ là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

1. **Chứng minh BD // MQ**:
- Vì DM // EF và EF // BQ (do chúng đều song song với EF), suy ra BD // MQ.

2. **Chứng minh BM = DQ**:
- Từ tính chất hình bình hành và tính chất của đường song song, có thể áp dụng tính chất hình thang hoặc đẳng thức về đoạn thẳng.

Kết luận: Nếu cả hai điều kiện trên đều thỏa mãn, ta có thể khẳng định rằng BMDQ là hình bình hành.

### b) Chứng minh \( AI = CK \).

Xét ba điểm I, A, M, và K. Ta có đoạn thẳng AC bị chia bởi điểm I và M theo tỷ lệ nhất định do đường thẳng DM cắt AB tại M và KI là đoạn thẳng song song với EF.

Từ tính chất của đoạn thẳng và tỉ lệ đoạn phân chia, ta có thể viết tỉ lệ:
\[
\frac{AI}{CK} = \frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AF}
\]
Suy ra \( AI = CK \) nếu E và F được lựa chọn phù hợp.

### c) Gọi N là giao điểm của EF và AC. Chứng minh rằng:
\[
\frac{AB}{AE} + \frac{AC}{AF} = \frac{AN}{AF}
\]

1. Ta có thể sử dụng định lý Menelaus cho tam giác AEF với điểm N trên cạnh AC.

2. Theo định lý Menelaus, ta có:
\[
\frac{AB}{AE} \cdot \frac{EN}{EF} \cdot \frac{AF}{AC} = 1
\]

Từ đó, suy ra:
\[
\frac{AB}{AE} + \frac{AC}{AF} = \frac{AN}{AF}
\]

Kết luận của bạn là đúng nếu các tỷ lệ và chứng minh thỏa mãn định lý Menelaus.

Hy vọng bạn có thể áp dụng các bước này để hoàn thành bài toán! Nếu cần thêm sự hỗ trợ hoặc chi tiết về phần cụ thể nào, hãy cho tôi biết!