Cho A = ( x^5 - 4x^4 + x^3 + x^2 - 4x )^2013. Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức A khi x = 2 + căn(3)

Để tìm giá trị của biểu thức \( A = (x^5 - 4x^4 + x^3 + x^2 - 4x)^{2013} \) khi \( x = 2 + \sqrt{3} \), trước tiên chúng ta sẽ đánh giá biểu thức bên trong dấu ngoặc.

Chúng ta thay \( x = 2 + \sqrt{3} \) vào từng phần của biểu thức:

1. **Tính \( x^2 \)**:
\[
x^2 = (2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}
\]

2. **Tính \( x^3 \)**:
\[
x^3 = (2 + \sqrt{3})^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3
\]
\[
= 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} = 26 + 15\sqrt{3}
\]

3. **Tính \( x^4 \)**:
\[
x^4 = (2 + \sqrt{3})^4 = (2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + 3)^2 = (7 + 4\sqrt{3})^2
\]
\[
= 49 + 56\sqrt{3} + 48 = 97 + 56\sqrt{3}
\]

4. **Tính \( x^5 \)**:
\[
x^5 = (2 + \sqrt{3})^5 = (2 + \sqrt{3}) \cdot (x^4) = (2 + \sqrt{3})(97 + 56\sqrt{3})
\]
\[
= 194 + 112\sqrt{3} + 97\sqrt{3} + 168 = 362 + 209\sqrt{3}
\]

Bây giờ chúng ta sẽ thay tất cả các giá trị trên vào biểu thức:
\[
x^5 - 4x^4 + x^3 + x^2 - 4x = (362 + 209\sqrt{3}) - 4(97 + 56\sqrt{3}) + (26 + 15\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) - 4(2 + \sqrt{3})
\]

Tính các thành phần:
- Tính \( -4x^4 \):
\[
-4(97 + 56\sqrt{3}) = -388 - 224\sqrt{3}
\]

- Tính \( -4x \):
\[
-4(2 + \sqrt{3}) = -8 - 4\sqrt{3}
\]

Tổng lại các thành phần:
\[
(362 + 209\sqrt{3}) + (26 + 15\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) - (388 + 224\sqrt{3}) - (8 + 4\sqrt{3})
\]

Cộng các hằng số:
\[
362 + 26 + 7 - 388 - 8 = -1
\]

Cộng các hệ số của \( \sqrt{3} \):
\[
209 + 15 + 4 - 224 - 4 = 0
\]

Kết quả:
\[
x^5 - 4x^4 + x^3 + x^2 - 4x = -1 + 0\sqrt{3} = -1
\]

Cuối cùng, tính giá trị của \( A \):
\[
A = (-1)^{2013} = -1
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 2 + \sqrt{3} \) là:
\[
\boxed{-1}
\]