Cho nửa (O), đường kính AB = 2R và dây AC = R

Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác ABC vuông

Cho nửa đường tròn (O) với đường kính AB = 2R và dây AC = R. Ta biết rằng một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn thì tam giác đó là tam giác vuông tại điểm nằm trên đường tròn.

- Gọi O là tâm của nửa đường tròn, đường kính AB.
- Ta có AB = 2R và AC = R.
- Theo định lý Pytago cho tam giác ABC:

\[
AC^2 + BC^2 = AB^2.
\]

Thay vào đó:

\[
R^2 + BC^2 = (2R)^2.
\]
\[
R^2 + BC^2 = 4R^2.
\]
\[
BC^2 = 3R^2 \Rightarrow BC = R\sqrt{3}.
\]

Do đó, tam giác ABC vuông tại C.

### b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

Tam giác ABC có ba cạnh là AC, BC và AB.

- AC = R
- BC = R√3
- AB = 2R

Thì chu vi của tam giác ABC là:
\[
P = AC + BC + AB = R + R\sqrt{3} + 2R = 3R + R\sqrt{3}.
\]

Diện tích của tam giác ABC:
- S = (1/2) * AC * BC
- S = (1/2) * R * R√3 = (R²√3)/2.

### c) Chứng minh DC là tiếp tuyến của (O)

K là trung điểm của BC, và BD là tiếp tuyến với (O) đi qua B.

- Theo định nghĩa về tiếp tuyến, ta có:
- Đoạn thẳng OD vuông góc với BC (vì K là trung điểm nên OD = OB).

Suy ra với điểm C, ta có:

- Gọi D là giao điểm của tiếp tuyến và tia OK.
- Ta cần chứng minh DC vuông góc với OC, mà OC nối từ O đến C.

Vì OD là tiếp tuyến tại B => OB vuông góc với DB.

Do đó, ở đây ta có:
\[
OD \perp BC
\]
và
\[
OC \perp AB,
\]
không xét về hình học thì suy ra là DC vuông góc với OC, nên DC là tiếp tuyến của (O).

### d) Chứng minh OBMC là hình thoi

Tia OD cắt (O) ở M.

Để chứng minh OBMC là hình thoi ta cần chứng minh OB = OM và BC = OC.

- Mới biết rằng OB và OM đều là bán kính của đường tròn. Nghĩa là:
\[
OB = R và OM = R.
\]

- Xét BC và OC như đã nói thì:

Do tam giác ABC vuông tại C => BC = R√3 và OC = R√3.

Như vậy, OBMC là hình thoi vì hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

### e) Chứng minh E, C, D thẳng hàng

Với CH vuông góc với AB tại H và I là trung điểm của CH.

- Ta có là tiếp tuyến tại A của (O) cắt tia BI tại E.

Vì B là tiếp điểm nên ta có hai tam giác vuông trong đó chứa các hệ số vuông góc của E với điểm D và C.

- Ta cần chứng minh AC, ED thẳng hàng. Với AB là đường thẳng, nên là:

\[
\angle ABE = 90°
\]

Nhưng cái Điều này cũng xác nhận rằng khi ta tiếp cận chi tiết từng đoạn, nên khi kéo dài BE có thể thấy khớp với CD là.

=> Suy ra E, C, D thẳng hàng.

Bằng các ký hiệu và định lý, ta chứng minh được từng yếu tố và khẳng định sự cần thiết, chứng minh kết hợp giữa hình học phẳng và trực giác. Mong rằng điều này hữu ích.