Chứng minh, 1924^2003^2004^n +1920 chia hết cho 124

Để chứng minh rằng \( 1924^{2003^{2004^n}} + 1920 \) chia hết cho 124, trước tiên, chúng ta cần phân tích các số 1924, 1920 và 124.

Ta có:
- \( 124 = 4 \times 31 \)

Chúng ta sẽ kiểm tra điều kiện chia hết cho 4 và 31.

**1. Kiểm tra chia hết cho 4:**

Ta biết rằng:
\[
1924 \equiv 0 \pmod{4} \quad \text{vì } 1924 = 4 \times 481.
\]
Vậy:
\[
1924^{2003^{2004^n}} \equiv 0 \pmod{4}
\]
Và:
\[
1920 \equiv 0 \pmod{4} \quad \text{vì } 1920 = 4 \times 480.
\]
Do đó:
\[
1924^{2003^{2004^n}} + 1920 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \pmod{4}.
\]

Vậy, \( 1924^{2003^{2004^n}} + 1920 \) chia hết cho 4.

**2. Kiểm tra chia hết cho 31:**

Tính số dư của 1924 và 1920 khi chia cho 31:
\[
1924 \div 31 \approx 62 \quad (\text{số nguyên lớn nhất, } 31 \times 62 = 1922)
\]
\[
1924 - 1922 = 2 \Rightarrow 1924 \equiv 2 \pmod{31}.
\]

Tiếp theo, ta tính:
\[
1920 \div 31 \approx 61 \quad (\text{số nguyên lớn nhất, } 31 \times 61 = 1891)
\]
\[
1920 - 1891 = 29 \Rightarrow 1920 \equiv 29 \pmod{31}.
\]

Giờ ta cần tìm:
\[
1924^{2003^{2004^n}} + 1920 \equiv 2^{2003^{2004^n}} + 29 \pmod{31}.
\]
Sẽ sử dụng định lý Fermat để tính \( 2^{2003^{2004^n}} \pmod{31} \). Theo định lý Fermat:
\[
2^{30} \equiv 1 \pmod{31}.
\]
Vì vậy, chúng ta cần tính \( 2003^{2004^n} \mod 30 \).

Tiến hành tính \( 2003 \mod 30 \):
\[
2003 \div 30 \approx 66 \quad (30 \times 66 = 1980)
\]
\[
2003 - 1980 = 23 \Rightarrow 2003 \equiv 23 \pmod{30}.
\]

Tiếp theo, ta cần tính \( 23^{2004^n} \mod 30 \).

Sử dụng lại định lý Fermat cho \( 23 \mod 30 \), ta thấy:
\[
\phi(30) = 30(1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3}) = 10.
\]
Vậy:
\[
23^{10} \equiv 1 \pmod{30}.
\]

Tính \( 2004^n \mod 10 \):
\[
2004 \mod 10 \equiv 4.
\]
Với \( n \geq 1 \) thì \( 4^n \equiv 0 \pmod{10} \) cho mọi \( n \geq 1 \). Vậy:
\[
23^{2004^n} \equiv 23^0 \equiv 1 \pmod{30}.
\]

Tiếp theo, thay thế vào biểu thức trước đó:
\[
2^{2003^{2004^n}} \equiv 2^1 \equiv 2 \pmod{31}.
\]
Từ đó, có:
\[
2^{2003^{2004^n}} + 29 \equiv 2 + 29 \equiv 31 \equiv 0 \pmod{31}.
\]

**Kết luận:**

Từ hai điều đã chứng minh, \( 1924^{2003^{2004^n}} + 1920 \) chia hết cho 4 và 31. Do đó, theo định lý \( a \equiv 0 \pmod{m} \) với \( m = 4 \times 31 = 124 \), ta có:
\[
1924^{2003^{2004^n}} + 1920 \equiv 0 \pmod{124}.
\]
Vậy, \( 1924^{2003^{2004^n}} + 1920 \) chia hết cho 124.