Để chứng minh tứ giác \( ADCM \) là hình vuông trong bài toán đã cho, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu.

### a) Chứng minh \( AM = MC \)

1. Tam giác \( ABC \) là tam giác vuông cân tại \( A \). Do đó, \( AB = AC \).
2. Từ định nghĩa đường trung tuyến, ta có điểm \( M \) là trung điểm của \( BC \).
3. Xét đoạn thẳng \( AM \) và \( MC \):
- \( N \) là trung điểm của \( AC \), suy ra \( AN = NC \).
4. Ta có:
\[
AN + NC = AC \Rightarrow AM + MC = AC \Rightarrow AM = MC
\]
Bởi vì trên đoạn \( AC \), \( N \) chia đôi đoạn \( AC \) và \( AM \) là đường trung tuyến, nên \( AM = MC \).

### b) Chứng minh tứ giác \( ADCM \) là hình vuông

Để chứng minh tứ giác \( ADCM \) là hình vuông, ta cần chứng minh hai điều: độ dài các cạnh và các góc của tứ giác đều thỏa mãn điều kiện của một hình vuông.

1. **Chứng minh các cạnh bằng nhau:**
- Từ \( AM = MC \) đã chứng minh ở phần (a), ta có:
\[
AM = MC
\]
- Xét điểm \( D \) đối xứng với \( M \) qua \( N \), suy ra \( DN = NM \) (bởi vì \( M \) và \( D \) là đối xứng).
- Mặt khác, \( AN = NC \) cho nên:
\[
AD = AM
\]
và
\[
DC = MC
\]

Vậy ta có các cặp cạnh đối diện bằng nhau:
\[
AD = AM = MC = DC
\]

2. **Chứng minh các góc bằng nhau:**
- Để chứng minh \( ADCM \) là hình vuông, ta cần \( AD \perp AM \) và \( DC \perp MC \).
- Do tứ giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \), suy ra góc \( AMN = 90^\circ \).
- Do \( D \) là điểm đối xứng của \( M \) qua \( N \), ta có:
\[
\angle ADN = \angle AMN = 90^\circ
\]
Tương tự, từ độ đối xứng và góc vuông, ta cũng có:
\[
\angle DCM = 90^\circ
\]

Từ hai điều trên, ta kết luận rằng tứ giác \( ADCM \) vừa có bốn cạnh bằng nhau, vừa có bốn góc vuông. Do đó:

### Kết luận:
Tứ giác \( ADCM \) là hình vuông.