Cho tam giác \( ABC \) có \( BC = 15 \text{ cm} \). Trên đường cao \( AH \) lấy các điểm \( I, K \) sao cho \( AK = KI = \lH \). Qua \( I, K \) vẽ các đường thẳng \( EF // BC, MN // BC \)

Để giải bài toán, chúng ta sẽ làm theo từng yêu cầu:

### a) Tính độ dài các đoạn thẳng \( EF \) và \( MN \)

Vì \( EF \parallel BC \) và \( MN \parallel BC \), độ dài của các đoạn thẳng này sẽ tỷ lệ với chiều cao từ đỉnh tới đáy.

Đặt chiều cao \( AH = h \). Khi lấy các điểm \( I \) và \( K \) trên đường cao \( AH \) sao cho \( AK = KI = \frac{h}{2} \), ta có:

- Chiều cao từ \( I \) đến \( BC \) là \( h - \frac{h}{2} = \frac{h}{2} \).
- Chiều cao từ \( K \) đến \( BC \) là \( h - h = 0 \).

Do đó, theo quy tắc tỷ lệ về độ dài đoạn thẳng:

\[
\frac{EF}{BC} = \frac{h - \frac{h}{2}}{h} = \frac{\frac{h}{2}}{h} = \frac{1}{2} \implies EF = \frac{BC}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ cm}
\]

\[
\frac{MN}{BC} = \frac{h - h}{h} = 0 \implies MN = 0 \text{ cm}
\]

Như vậy:
- Đoạn thẳng \( EF = 7.5 \text{ cm} \)
- Đoạn thẳng \( MN = 0 \text{ cm} \)

### b) Tính diện tích tam giác \( MNF \)

Ta đã biết diện tích của tam giác \( ABC \) là \( 270 \text{ cm}^2 \). Vì \( EF \parallel BC \) và \( MN \parallel BC \), chiều cao của tam giác \( MNF \) so với cạnh \( MN \) cũng sẽ tỷ lệ với chiều cao của tam giác \( ABC \).

Do đó, tỉ lệ giữa diện tích của tam giác \( MNF \) và tam giác \( ABC \) sẽ bằng tỉ lệ giữa chiều cao tương ứng:

\[
S_{MNF} = S_{ABC} \cdot \left( \frac{MN}{BC} \right)^2 = 270 \cdot \left( 0 \right)^2 = 0 \text{ cm}^2
\]

### c) Chứng minh rằng đường thẳng \( ABCD (ABCD) \) cắt các cạnh bên \( AD, BC \)

- Đường thẳng \( ABCD \) sẽ cắt các đường thẳng \( AB, AC, AD, BC \) tại các điểm mà ta tính được, từ đó có thể kiểm tra sự cắt nhau đó.

Kết luận:
- Đoạn thẳng \( EF = 7.5 \text{ cm} \), đoạn thẳng \( MN = 0 \text{ cm} \), và diện tích của tam giác \( MNF = 0 \text{ cm}^2 \).