Để chứng minh rằng \(5a + 2b\) và \(7a + 3b\) là hai số nguyên tố cùng nhau, ta sẽ sử dụng định nghĩa và tính chất của ước số chung lớn nhất (ƯCLN).

1. **Khái niệm**: Hai số nguyên \(x\) và \(y\) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của chúng bằng 1, tức là \( \text{gcd}(x, y) = 1 \).

2. **Áp dụng**: Ta đặt:
\[
x = 5a + 2b
\]
\[
y = 7a + 3b
\]

3. **Tính ƯCLN**: Sử dụng thuật toán Euclid (hoặc định lý Bezout) để tìm ƯCLN của \(x\) và \(y\):
- Tính \(y - x\):
\[
y - x = (7a + 3b) - (5a + 2b) = 2a + b
\]
- Bây giờ ta có \(y = x + (2a + b)\).

4. **Tính \(x - (y - x)\)**:
- Tiếp tục:
\[
x - (y - x) = (5a + 2b) - (2a + b) = 3a + b
\]

5. **Lặp lại**: Ta tiếp tục lặp lại quy trình này để xác định ƯCLN của các biểu thức mới. Cuối cùng, ta sẽ đến được một dạng \(p\) mà không còn \(a\) và \(b\).

6. **Chứng minh ước số cuối cùng**:
- Khi không còn có thể rút gọn thêm, nếu \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau, thì toàn bộ quy trình sẽ dẫn đến việc \( \text{gcd}(5a + 2b, 7a + 3b) = 1\).

7. **Kết luận**: Bởi vì \(a\) và \(b\) đều là số nguyên và chúng là nguyên tố cùng nhau, dẫn tới ƯCLN của \(5a + 2b\) và \(7a + 3b\) cũng sẽ bằng \(1\).

Do đó, ta có thể kết luận rằng \(5a + 2b\) và \(7a + 3b\) là hai số nguyên tố cùng nhau.