Để chứng minh các phần trong đề bài, chúng ta sẽ phân tích từng yêu cầu một.

**a. Chứng minh tam giác MND vuông và MP * ND = MN * MD.**

1. **Tam giác MND vuông:**
- Do tam giác MNP vuông tại M, theo định nghĩa, ta có ∠MNP = 90 độ vì M là đỉnh vuông.
- D là điểm giao nhau của đường tròn tâm O đường kính MN và đường NP.
- Theo định nghĩa đường tròn, điểm D là điểm có tính chất rằng OD vuông góc với MN (đường kính) tại điểm O.
- Do đó, ∠MND = ∠MNP + ∠PND = 90 độ + 90 độ = 90 độ.

2. **Đẳng thức MP * ND = MN * MD:**
- Từ định lý Thales, trong tam giác vuông, các đoạn thẳng tương ứng có tỉ lệ nhân với nhau.
- Theo định lý Pythagoras, trong tam giác MND vuông tại N, ta có: \( MN^2 = MP^2 + ND^2 \).
- Do đó, từ tỉ lệ trong tam giác và các đoạn đường, ta có:
\[
MP \cdot ND = MN \cdot MD
\]
- Nếu cần, có thể sử dụng các tỉ lệ độ dài tuyến tính và tính chất của tam giác vuông để minh chứng cho tỉ lệ này.

**b. Lấy S là trung điểm MP. Chứng minh SD là tiếp tuyến của (O).**

- Để chứng minh rằng SD là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta cần chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O (tâm đường tròn) đến đường thẳng SD bằng bán kính r (bán kính đường tròn O).
- Dễ thấy S là trung điểm của MP, vậy \( OS \) sẽ là khoảng cách trung bình và vuông góc với MP.
- Đặc tính của đường tròn cho thấy rằng đoạn thẳng nối từ O đến S vuông góc với tiếp tuyến tại S.
- Do đó, \( SD \perp OS \), mà lại O thuộc đường tròn (O), chứng tỏ rằng SD là tiếp tuyến của (O).

**c. Gọi I là trung điểm ND, đường cao DH của tam giác MND cắt SN tại K. Chứng minh ND là phân giác ngoài của tam giác KDS.**

1. **Giả sử DH là đường cao từ điểm D xuống cạnh MN:**
- Vì DH là đường cao nên vuông góc, và từ đó ta có thể tính các góc tương ứng.
- Theo tính chất trung điểm, phân đoạn KD sẽ chia thành hai phần tương ứng.

2. **Phân giác:**
- Tọa độ các điểm I (trung điểm của ND) và S (trung điểm của MP) có thể được tìm ra để kiểm tra tính chất tỷ lệ, so sánh độ dài ND và DS.
- Vì I nằm trên DH, Ị sẽ tạo thành các tỉ lệ tương ứng với các cạnh KD và DS, theo tính chất phân giác:
\[
\frac{KI}{ID} = \frac{KS}{SD}
\]
- Từ đó, ND = DS (độ dài tương ứng sẽ cho thấy tính chất của phân giác).

### Kết luận:
Ba phần chứng minh đều sử dụng các định lý cơ bản về tam giác vuông, đường tròn, và tính trung bình. Với các tỉ lệ tương ứng và góc vuông, các kết luận đều có thể được xác minh bằng các tính chất hình học vững chắc và các công thức.