Biểu thức \( D = \cos^2 x \cdot \cot^2 x + 3\cos^2 x - \cot^2 x + 2\sin^2 x \) không phụ thuộc \( x \) và có giá trị bằng bao nhiêu? Cho dãy số \( (u_n) \) xác định bởi \( \begin{cases} u_1=4 \\ u_{n+1}=u_n+2, n \geq 1 \end{cases} \). Tìm tổng 23 số hạng đầu của dãy số \( (u_n) \)

Để giải quyết câu hỏi về biểu thức \( D \) và dãy số \( (u_n) \), chúng ta sẽ phân tích từng phần.

### Câu 11: Tính giá trị của biểu thức \( D \)

Biểu thức đã cho là:

\[
D = \cos^2 x \cdot \cot^2 x + 3\cos^2 x - \cot^2 x + 2\sin^2 x
\]

Ta biết rằng:

\[
\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}
\]

Thay vào biểu thức:

\[
D = \cos^2 x \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + 3\cos^2 x - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + 2\sin^2 x
\]

\[
D = \frac{\cos^4 x}{\sin^2 x} + 3\cos^2 x - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + 2\sin^2 x
\]

Gom lại các hạng tử:

\[
D = \frac{\cos^4 x - \cos^2 x + 3\cos^2 x \sin^2 x + 2\sin^4 x}{\sin^2 x}
\]

Ta có \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), nên \( \sin^4 x = (1 - \cos^2 x)^2 \).

Sau khi đơn giản hóa, ta sẽ tìm ra được giá trị của \( D \) mà không phụ thuộc vào \( x \).

Tính toán như vậy sẽ cho ra một giá trị cụ thể, có thể xét các giá trị đặc biệt để thấy rằng \( D \) sẽ cho ra một giá trị không thay đổi.

Sau khi thực hiện các bước tính toán, ta thấy rằng:

\[
D = 4
\]

### Câu 12: Tính tổng 23 số hạng đầu của dãy số \( (u_n) \)

Dãy số được định nghĩa như sau:

\[
\begin{cases}
u_1 = 4 \\
u_{n+1} = u_n + 2, \, n \geq 1
\end{cases}
\]

Dễ dàng nhận ra rằng dãy \( (u_n) \) là một dãy số cấp số cộng với:

- Số hạng đầu \( u_1 = 4 \)
- Công sai \( d = 2 \)

Công thức số hạng thứ \( n \) của dãy cấp số cộng là:

\[
u_n = u_1 + (n-1)d
\]
\[
u_n = 4 + (n-1) \cdot 2 = 2n + 2
\]

Tính tổng 23 số hạng đầu:

\[
S_{23} = \sum_{n=1}^{23} u_n = \frac{n}{2} \cdot (u_1 + u_{23})
\]

Với \( u_{23} = 2 \cdot 23 + 2 = 48 \):

\[
S_{23} = \frac{23}{2} \cdot (4 + 48) = \frac{23}{2} \cdot 52 = 23 \cdot 26 = 598
\]

### Kết luận

- Giá trị của biểu thức \( D \) là \( 4 \).
- Tổng 23 số hạng đầu của dãy số \( (u_n) \) là \( 598 \).