Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần một.

Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB < AC \).

### a. Chứng minh \( \angle ABC = \angle DEC \)

1. **Vì \( AD \) là tia phân giác của góc \( A \)**, nên theo định nghĩa về tia phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

2. **Do \( AD \perp BC \)** (theo giả thiết), nên ta có các góc:
- \( \angle ABD = \angle ADB \)
- \( \angle ADB = 90^\circ - \angle ABC \)

3. **Tương tự, ta có**:
- \( \angle DCE = \angle DEF \)
- \( \angle DEF = 90^\circ - \angle ABC \) (vì \( DE \) vuông góc với \( BC \))

4. **Kết hợp các yếu tố trên**:
\[
\angle ABC = 90^\circ - \angle ADB = \angle DCE
\]
Vậy điều này chứng minh được:
\[
\angle ABC = \angle DEC
\]

### b. Chứng minh tam giác \( DBF \) là tam giác cân

1. **Ta thấy rằng** \( DF \) vuông góc với \( BC \), nghĩa là \( DF \) chính là đường cao từ \( D \) đến cạnh \( BC \).

2. **Ta cũng có** \( AE = AF \) (theo giả thiết).

3. **Vì \( D \) nằm trên phân giác của \( \angle A \)**, nên \( AD \) chia hai góc \( \angle ADB \) và \( \angle ADF \) theo tỉ lệ giữa \( AB \) và \( AC \).

4. **Do đó, với việc có \( AE = AF \)** và \( AD \) là phân giác, ta sẽ có:
\[
\angle ADB = \angle ADF
\]
Từ đó suy ra \( \triangle DBF \) là tam giác cân tại \( D \).

### c. Chứng minh \( DB = DE \)

1. **Từ phần b)**, ta có rằng \( DBF \) là tam giác cân tại \( D \), nghĩa là:

\[
DB = DF
\]

2. **Kết hợp với tính chất vuông góc**:
- Ta có \( DF \perp BC \)

3. **Áp dụng vòng tròn nội tiếp**: Khi \( DF \) cắt \( AC \) tại \( F \) và \( D \) nằm trên phân giác, ta biết rằng khoảng cách từ \( D \) đến \( B \) cũng sẽ bằng khoảng cách từ \( D \) đến \( E \).

4. **Kết luận**: Do đó, ta có \( DB = DE \).

Như vậy, các mệnh đề đã được chứng minh.