Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xử lý lần lượt từng phần của bài toán.

### a) Chứng minh IJ // CD

Gọi các điểm A, B, C, D trong không gian với tọa độ:
- A(0, 0, 0)
- B(b1, b2, b3)
- C(c1, c2, c3)
- D(d1, d2, d3)

Tọa độ của các trung điểm I và J được tính như sau:
- I là trung điểm của AD:
\[
I\left( \frac{0 + d1}{2}, \frac{0 + d2}{2}, \frac{0 + d3}{2} \right) = \left( \frac{d1}{2}, \frac{d2}{2}, \frac{d3}{2} \right)
\]

- J là trung điểm của AC:
\[
J\left( \frac{0 + c1}{2}, \frac{0 + c2}{2}, \frac{0 + c3}{2} \right) = \left( \frac{c1}{2}, \frac{c2}{2}, \frac{c3}{2} \right)
\]

Vecto chỉ phương của IJ:
\[
IJ = J - I = \left( \frac{c1}{2} - \frac{d1}{2}, \frac{c2}{2} - \frac{d2}{2}, \frac{c3}{2} - \frac{d3}{2} \right) = \frac{1}{2}(c1 - d1, c2 - d2, c3 - d3)
\]

Vecto chỉ phương của CD:
\[
CD = D - C = (d1 - c1, d2 - c2, d3 - c3)
\]

Để chứng minh IJ // CD, ta cần chỉ ra rằng tồn tại một số k sao cho:
\[
IJ = k \cdot CD
\]

Chúng ta có:
\[
(c1 - d1, c2 - d2, c3 - d3) = -k \cdot (d1 - c1, d2 - c2, d3 - c3)
\]
Điều này đúng khi k = 1/2, cụ thể:
\[
IJ = \frac{1}{2}CD
\]

Vậy IJ // CD.

### b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD)

Trọng tâm G của tam giác BCD được tính bằng công thức:
\[
G = \frac{B + C + D}{3}
\]

Vecto chỉ phương của mặt phẳng (GIJ) được xác định bằng hai vecto GI và GJ. Ta tính vecto:
\[
GI = I - G \quad \text{và} \quad GJ = J - G
\]

Mặt phẳng (BCD) được xác định thông qua ba điểm B, C, D. Ta có thể tìm vecto:
\[
BC = C - B
\]
\[
BD = D - B
\]

Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) sẽ là đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng này. Để tìm giao tuyến, chúng ta cần giải hệ phương trình từ tọa độ của các điểm liên quan đến các mặt phẳng này.

Vì không có tọa độ cụ thể, chúng ta không thể tính toán chi tiết. Nhưng tương tự như trên, ta kết hợp hai mặt phẳng và tìm được giao tuyến là một đường thẳng đi qua một điểm cụ thể. Khối lượng yếu của hai mặt phẳng này giúp ta có thể tìm giao tuyến.

### c) Cho biết CD = 6, tính \(2IJ + 3MN\)

Từ phần a), ta có IJ tương ứng với tỉ lệ phản chiếu của CD:
\[
IJ = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3
\]

Về phần MN, bởi GIJ cắt BD và BC tại M và N, công thức sẽ phụ thuộc vào cách thức mà các mặt phẳng cắt nhau. Với giả định và thiết lập trước:
\[
MN = \text{ khoảng cách giữa hai giao điểm } M \text{ và } N.
\]

Do đó, từ yêu cầu tính:
\[
2IJ + 3MN = 2 \cdot 3 + 3MN
\]
Giả sử MN = x, thì:
\[
= 6 + 3x
\]

Không đủ thông tin cụ thể để tính x. Nếu biết cụ thể x, thay vào và hoàn tất.

---
**Lưu ý:** Bài toán yêu cầu nhiều hơn về điều kiện cụ thể để tính toán những giá trị cuối. Do đó, cần bổ sung thêm thông tin về MN để có kết luận đầy đủ.